Nawigacja morska / Rozdział 6

Nawigacja morska

Żegluga mieszana i zbieżność południków

Żegluga mieszana, obliczanie ortodromy w żegludze mieszanej, zbieżność południków, zmiana KDd na ortodromie o 1°

6

Żegluga mieszana
(ortodroma – loksodroma – ortodroma)

Z żeglugą mieszaną mamy do czynienia, gdy wierzchołek ortodromy znajduje się w niebezpiecznych rejonach dla nawigacji. Warunki tam panujące mogą tak spowolnić szybkość statku, że nie warto tam w ogóle nawigować.

Żegluga mieszana
—Rys.  Żegluga mieszana.
W kolorze żółtym zaznaczono akwen, w którym uprawianie żeglugi jest niebezpieczne.
A–WI - pierwsza ortodroma zastępcza ; WI–WII - Loksodroma ; WII–B - druga ortodroma zastepcza.

Obliczanie drogi przy żegludze mieszanej

I-sza ortodroma zastępcza.

cos (90° − φA) = sin φG sin (90° − d1)
sin φA = sin φG cos d1
cos d1 = sin φA cosec φG
I-sza ortodroma zastępcza
—Rys.  I-sza ortodroma zastępcza
φG - to szerokość graniczna, poza którą żegluga jest niebezpieczna.

II-ga ortodroma zastępcza.

Loksodroma

cos d2 = sin φB cosec φG

a = rλ cos φG
dcałkowita = d1 + a + d2

Kurs początkowy i końcowy

cos φG = sin (90° − φA) sin α
cos φG = cos φA sin α
sin α = cos φG sec φA
sin β = cos φG sec φB
Kurs początkowy i końcowy
—Rys.  Kurs początkowy i końcowy.

Wierzchołek ortodromy

φW1 oraz φW2 są znane ; jest to tzw. φG (szerokość graniczna) za, którą statek nie powinien wypłynąć ze względu na niebezpieczeństwo.

cos rλW1 = ctg (90° − φA) ctg φG
cos rλW1 = tg φA ctg φG
cos rλW2 = tg φB ctg φG
Wierzchołek ortodromy
—Rys.  Wierzchołek ortodromy.

Punkty podziału

Oblicza się tylko dla dróg po ortodromie. Wzory na φ są takie same jak dla ortodromy klasycznej.

tg φZ = tg φW cos rλZ

Długość obliczamy przez odjęcie przyjętej przez nas rλ, od właściwego wierzchołka.

Kursy dla punktów podziału.

Tak samo jak dla ortodromy klasycznej, z tym, że obliczamy osobno kursy dla I-szej ortodromy zastępczej, a osobno dla II-giej ortodromy zastępczej; tak jak gdyby tworzyły dwie niezależne ortodromy.
Należy dodać, że kursy obliczamy od pozycji (wyjściowej i docelowej) do wierzchołków. To znaczy, że kursy obliczone dla II-giej ortodromy, czyli od pozycji docelowej do wierzchołka musimy "odwrócić", czyli do każdego kursu dodać 180°.

Matematyczne obliczanie ortodromy w żegludze mieszanej

Za mała rozdzielczość ekranu.
Z uwagi na przejrzystość przykładu, proszę odwrócić ekran na poziomo, lub skorzystać z urządzenia o większym ekranie.
Przykład

Dane: pozycja początkowa φA = 43°00'0 S ; λA = 147°20'0 E ; pozycja końcowa φB = 40°00'0 S ; λB = 074°30'0 W ; φ = 55°00'0 S (szerokość graniczna dla bezpiecznej żeglugi)
Szukane: obliczyć całą ortodromę złożoną.

1. Obliczamy różnicę szerokości i różnicę długości ortodromy właściwej.

φB = −40°00'0
(−) φA = −43°00'0

rφ = +03°00'0
rφ = +180'0

λB = −074°30'0
(−) λA = +147°20'0

rλ = −221°50'0
rλ = +138°1'0
rλ = +8290'0

Najpierw musimy obliczyć [α] kąt początkowy ortodromy właściwej, aby następnie obliczyć jej największą szerokość - co da nam obraz, czy ortodroma przekroczyła szerokość graniczną czy też nie.

2. Obliczamy [α] kąt początkowy ortodromy właściwej i [φ] szerokość jej wierzchołka.

Przy pomocy tablic ABC
A = −1,40
(+) B = −1,25

C = −2,29
α = S 31° E
α = 149°

Przy pomocy wzoru na φW
φw = cos φA sin α

log cos φA = 9,86413
log sin α = 9,71184

log cos φW = 9,57597
φW = 67°52'7 S

Ortodroma przekroczy szerokość graniczą

φG = 55°00'0 S
φW = 67°52'7 S

A więc mamy do czynienia z żeglugą mieszaną. Musimy obliczyć dwie ortodromy zastępcze i loksodromę.

3. Obliczamy współrzędne wierzchołków obydwu ortodrom zastępczych. Szerokości obu wierzchołków już mamy, jest to szerokość graniczna [φG = 55°00'0 S].

Przystępujemy do obliczeń długości geograficznej obu wierzchołków wg wzoru

cos rλW1 = tg φA ctg φG
log tg φA = 9,96966
log ctg φG = 9,84523

log cos rλW1 = 9,81489
W1 = +49°14'0

cos rλW2 = tg φB ctg φG
log tg φB = 9,92381
log ctg φG = 9,84523

log cos rλW2 = 9,76904
W2 = −54°01'0

Pytanie: dlaczego przy jednym rλ jest znak (−), a przy drugim znak (+).
Po prostu, dla właściwych obliczeń.
Otóż, rλ ortodromy właściwej ma znak (+), czyli statek płynie z zachodu na wschód. Co jest zgodne ze znakiem I-szej ortodromy zastępczej. Ponieważ rλ każdej ortodromy zastępczej obliczamy w stosunku (w stronę) do jej wierzchołka, widzimy, że w wypadku I-szej ortodromy zastępczej przesuwamy się na wschód (+), ku wierzchołkowi. Również do wierzchołka II-giej ortodromy przesuwamy się, ale od pozycji "B", czyli od wschodu na zachód (−), dlatego druga rλ posiada znak (−).

Czyli:
Płyniemy od A do W1 dalej do W2 i kończymy żeglugę w punkcie B.
Natomiast liczymy (ortodromy zastępcze) od A do W1, i od B do W2.
Odcinek W1-W2 to nasza loksodroma.

A więc:

λA = +147°20'0
(+) rλW1 = +49°14'0

W1 = +169°34'0
W1 = 163°26'0 W

λB = −074°30'0
(+) rλW2 = −54°01'0

W2 = −128°31'0
W2 = 128°31'0 W

4. Obliczamy całą drogę do przebycia ∑ = d1 + a + d2

I-sza ortodroma zastępcza    cos d1 = sin φA cosec φG
log sin φA = 9,83378
log cosec φG = 0,08664

log cos d1 = 9,92042
d1 = 33°38'2
d1 = 2018,2Mm

II-ga ortodroma zastępcza    cos d2 = sin φB cosec φG
log sin φB = 9,80807
log cosec φG = 0,08664

log cos d2 = 9,89471
d2 = 38°18'4
d1 = 2298,4Mm

loksodroma    a = rλ cos φG
rλ = różnica długości między wierzchołkami ortodrom zastępczych (pierwszej i drugiej zastępczej)

λW2 = −128°31'0
(−) λW1 = −163°26'0

rλ = 34°55'0
rλ = 2095'0

log rλ = 3,21184
log cos φG = 9,75859

log a = 3,07977
a = 1201,6Mm

d1 = 2018,2Mm
a = 1201,6Mm
(+) d2 = 2298,4Mm

∑d = 5518,2Mm

Przy żegludze mieszanej, po ortodromie, nie obliczamy zysku.

5. Określamy i obliczamy punkty podziału; osobno dla I-szej ortodromy zastępczej i osobno dla II-giej ortodromy zastępczej, używając do tego wzoru

φZ = cos rλZ tg φG

I-sza ortodroma zastępcza ma "długość" 49°14'0, więc dzielimy ją na 7 części, czyli rλZ1 = co 7° (dzielenie zaczynamy od wierzchołka ortodromy)
II-ga ortodroma zastępcza ma "długość" 54°01'0, więc dzielimy ją na 9 części, czyli rλZ2 = co 6° (dzielenie zaczynamy od wierzchołka ortodromy)

I-sza ortodroma zastępcza:

Tabela z obliczeniami
Za mała rozdzielczość ekranu by prawidłowo wyświetlić tabelę
Odwróć ekran lub skorzystaj z większego urządzenia

  A Z1 Z2 Z3 Z4 Z5 Z6
49°14'0 42°14'0 35°14'0 28°14'0 21°14'0 14°14'0 7°14'0
log tg φG
log cos rλZ
0,15477
9,81490
0,15477
9,86947
0,15477
9,91212
0,15477
9,94499
0,15477
9,96947
0,15477
9,98646
0,15477
9,99653
log tg φZ 9,96967 0,02424 0,06689 0,09976 0,12424 0,14123 0,15130
φZ 43°00'0 46°35'8 49°23'6 51°31'5 53°05'1 54°09'3 54°47'1

II-ga ortodroma zastępcza:

Tabela z obliczeniami
Za mała rozdzielczość ekranu by prawidłowo wyświetlić tabelę
Odwróć ekran lub skorzystaj z większego urządzenia

  Z7 Z8 Z9 Z10 Z11 Z12 Z13 Z14 B
6°01'0 12°01'0 18°01'0 24°01'0 30°01'0 36°01'0 42°01'0 48°01'0 54°01'0
log tg φG
log cos rλZ
0,15477
9,99760
0,15477
9,99038
0,15477
9,97817
0,15477
9,96067
0,15477
9,93746
0,15477
9,90796
0,15477
9,87096
0,15477
9,82537
0,15477
9,76904
lod tg φZ 0,15237 0,14515 0,13294 0,11544 0,09223 0,06273 0,02573 9,98014 9,92381
φZ 54°51'0 54°24'1 53°38'1 52°31'7 51°02'4 49°07'5 46°41'8 43°41'5 40°00'0

Podział całej ortodromy wygląda następująco:

Pozycja φ λ
A 43°00'0 S 147°20'0 E
Z1 46°35'8 S 154°34'0 E
Z2 49°23'6 S 161°34'0 E
Z3 51°31'5 S 168°34'0 E
Z4 53°05'1 S 175°34'0 E
Z5 54°09'3 S 177°26'0 W
Z6 54°47'1 S 170°26'0 W
W1 55°00'0 S 163°26'0 W
W2 55°00'0 S 128°31'0 W
Z7 54°51'0 S 122°31'0 W
Z8 54°24'1 S 116°31'0 W
Z9 53°38'1 S 110°31'0 W
Z10 52°31'7 S 104°31'0 W
Z11 54°02'4 S 098°31'0 W
Z12 49°07'5 S 092°31'0 W
Z13 46°41'8 S 086°31'0 W
Z14 43°41'5 S 080°31'0 W
B 40°00'0 S 074°30'0 W

6. Obliczamy kursy pomiędzy poszczególnymi punktami zwrotu, poczynając od pozycji "A", w wypadku I-szej ortodromy oraz od pozycji "B", w wypadku II-giej ortodromy.

Kursy obliczymy przy pomocy tablic ABC.

od → do A B C KDd KDd KDd
A → Z1 +0,81 −1,89 −1,08 S52°E   128°
Z1 → Z2 +1,17 −2,13 −0,96 S57°E   123°
Z2 → Z3 +1,67 −2,49 −0,82 S62°E   118°
Z3 → Z4 +2,36 −3,04 −0,68 S67°E   113°
Z4 → Z5 +3,46 −3,99 −0,53 S72°E   108°
Z5 → Z6 +5,52 −5,90 −0,38 S77°E   103°
Z6 → W1 +11,63 −11,72 −0,09 S87°E   093°
W1 → W2            090° 090°
W2 → Z7 +13,59 −13,66 −0,07 S88°W +180° 088°
Z7 → Z8 +6,62 −6,87 −0,25 S82°W +180° 082°
Z8 → Z9 +4,01 −4,62 −0,61 S75°W +180° 075°
Z9 → Z10 +2,92 −3,51 −0,59 S70°W +180° 070°
Z10 → Z11 +2,14 −2,86 −0,72 S66°W +180° 066°
Z11 → Z12 +1,58 −2,43 −0,58 S58°W +180° 062°
Z12 → Z13 +1,11 −2,13 −1,02 S58°W +180° 058°
Z13 → Z14 +0,87 −1,92 −1,05 S53°W +180° 053°
Z14 → B +0,61 −1,77 −1,16 S48°W +180° 048°

UWAGI:

1. Przypomnijmy sobie argumenty wejściowe i wyjściowe Tablic ABC

A → φzn ; rλzn
B → φG ; rλzn
C → φzn ; αzn

2. Kursy między punktami podziału liczymy od pozycji (początkowej lub końcowej) do wierzchołka, dlatego każdy kurs od wierzchołka W2 musimy "obrócić" o 180°

3. W przypadku I-szej ortodromy zastępczej, patrz punkt 2. (Z porównania Δ sferycznego astronomicznego z Δ biegunowym nawigacyjnym, pamiętamy, że gλ = rλ, musimy ją zamienić na tλ, a ponieważ gλ = E), musimy ją odjąć od 360° i z tym argumentem wejść do Tabeli ABC.

4. Natomiast w przypadku II-giej ortodromy zastępczej gλ "pokrywa" się z tλ (obliczając kursy z "B" do "W2" płyniemy kursem West). A wiemy, że jest odwrotnie i dlatego kursy odwracamy o 180°.

5. Każda konstrukcja tablic ABC jest dobra, jest to kwestia "przyzwyczajenia się" do tablic, którymi operujemy na co dzień.


Całą ortodromę (czy to klasyczną, czy "bez" wierzchołka, czy "mieszaną") kreślimy na mapie generalnej aby zobaczyć jej kształt i przebieg. Natomiast nawigację prowadzimy na mapach zwanych "arkuszami zliczeniowymi" patrz Konstrukcja mapy Merkatora.

Zbieżność południków

Kąty, pod którym ortodroma przecina południki w stosunku do kąta początkowego "α" rosną albo maleją. Różnica kątowa między początkowymi kątami drogi w dwóch punktach na ortodromie nazywamy zbieżnością południków - "u".

α + β + u = 180°
α + β = 180° − u

(α + β) ⁄ 2 = 90° − (u ⁄ 2)
do dalszego wyprowadzenia wzoru

Wyprowadzenie wzoru na zbieżność południków

Za mała rozdzielczość ekranu.
Z uwagi na przejrzystość wzorów, proszę odwrócić ekran na poziomo, lub skorzystać z urządzenia o większym ekranie.

tg ((A+B) ⁄ 2) = cos ((a−b) ⁄ 2) sec ((a+b) ⁄ 2) ctg (C ⁄ 2)

A = α ; B = β ; C = rλ ; a = 90° − φB ; b = 90° − φA ; c = d

tg ((α+β) ⁄ 2) = cos [((90°−φB) − (90°+φA)) ⁄ 2] sec [((90°−φB) + (90°−φA)) ⁄ 2] ∗ ctg (rλ ⁄ 2)
tg ((α+β) ⁄ 2) = cos [(90° − φB − 90° + φA) ⁄ 2] ∗ sec [(90° − φB + 90° − φA) ⁄ 2] ∗ ctg (rλ ⁄ 2)
tg ((α+β) ⁄ 2) = cos [(−(φB−φA)) ⁄ 2] ∗ sec [90° − ((φAB) ⁄ 2)] ∗ ctg (rλ ⁄ 2)
tg ((α+β) ⁄ 2) = cos [−((rφ) ⁄ 2)] ∗ sec [90° − φśr] ∗ ctg (rλ ⁄ 2)
tg ((α+β) ⁄ 2) = cos (rφ ⁄ 2) ∗ cosec φśr ∗ ctg (rλ ⁄ 2)
   podstawiamy
tg (90° − (u ⁄ 2)) = cos (rφ ⁄ 2) ∗ cosec φśr ∗ ctg (rλ ⁄ 2)
ctg (u ⁄ 2) = cos (rφ ⁄ 2) ∗ cosec φśr ∗ ctg (rλ ⁄ 2)
tg (u ⁄ 2) = sec (rφ ⁄ 2) ∗ sin φśr ∗ tg (rλ ⁄ 2)

Operowanie takim wzorem jest trochę kłopotliwe, tym bardziej gdybyśmy chcieli policzyć to przy pomocy kalkulatora. Wobec tego pokażmy ten wzór w uproszczonej postaci.
Wyprowadzenie uproszczonej postaci wzoru:

tg (u ⁄ 2) = sec (rφ ⁄ 2) ∗ sin φśr ∗ tg (rλ ⁄ 2)
Przy małych wartościach kątów wiemy, że: tg x° = x° tg 1°
analogicznie
tg (u° ⁄ 2) = (u° ⁄ 2) tg 1°
tg (rλ ⁄ 2) = (rλ ⁄ 2) tg 1°

(u° ⁄ 2) tg 1° = sec (rφ ⁄ 2) ∗ sin φśr ∗ (rλ ⁄ 2) tg 1°
   /: tg 1°
u° ⁄ 2 = (rλ ⁄ 2) ∗ sin φśr ∗ sec (rφ ⁄ 2)   /: 2

Uwaga:    sec (rφ ⁄ 2) < 5°
Wartość zbliżona do jedności    sec (rφ ⁄ 2) ≅ 1°

u = rλ sin φśr

Analiza wzorów:

tg (u ⁄ 2) = sec (rφ ⁄ 2) ∗ sin φśr ∗ tg (rλ ⁄ 2)

We wzorze występują następujące elementy: rφ ; φśr ; rλ

Jeżeli rλ = 0° to

tg rλ = 0°
tg u = 0°
u = 0°

nie ma zbieżności południków

Jeżeli sin φśr = 0° to

sin φśr = 0°
u = 0°

ma tą samą wartość, tylko φA = N ; a φB = S ; lub na tym samym równoleżniku.

"u"+ ; jeżeli przestrzegamy następujących reguł:

Pytanie do czego ten wzór jest potrzebny? Odpowiedź - do obliczenia zmiany KDd na ortodromie o 1°

Zmiana KDd na ortodromie o 1°

Mamy dwa rodzaje obliczeń zmiany KDd:

Zależnie od przebiegu ortodromy, zmiana kąta o 1° następuje bardzo szybko, względnie powoli. Odpowiedź na pytanie, po przebyciu ilu mil morskich (Mm), kierunek drogi ulegnie zmianie o 1°, daje nam wzór:

d = 60' ctg φA cosec KDd
d = ilość Mm po, których przepłynięciu, zmieniamy kurs o 1°
φA = szerokość geograficzna punktu wyjścia
KDd = kurs początkowy ortodromy.

Wyprowadzenie wzoru

Dane: φA = φśr oraz u = 1° = 60'
Uproszczony wzór na zbieżność południków u = rλ sin φśr

rλ sin φśr = 60'
rλ = 60' cosec φśr

z Δ drogowego wiemy, że   rλ = a sec φśr    więc
a sec φśr = 60' cosec φśr
a = 60' ctg φśr

z Δ drogowego wiemy, że   a = d sin KDd   a więc
d sin KDd = 60' ctg φśr
d = 60' ctg φśr cosec KDd
   czyli
d = 60' ctg φA cosec KDd

Kalkulator - obliczanie ortodromy. Wprowadzając współrzędne pozycji wyjściowej i pozycji docelowej, komputer obliczy optymalną ortodromę.




Poprzedni rozdział
Żegluga po ortodromie