Nawigacja morska / Rozdział 10

Nawigacja morska

Konstrukcja mapy Merkatora - arkusze zliczeniowe

Powiększona szerokość [V], matematyczne ujęcie mapy Merkatora, obliczanie siatki mapy oraz jak narysować mapę

10

Po zapoznaniu się z treścią zawartą w poprzednim rozdziale, możemy przystąpić do obliczenia i narysowania mapy Merkatora.
Przypomijmy sobie, mapa Merkatora to odwzorowanie kuli ziemskiej na walec. Kuli ziemskiej, to znaczy idealnej kuli, a wiadomo, że nasz glob jest geoidą spłaszczoną biegunowo, co przy kreśleniu map Merkatora przysparza sporo problemów. Są to sprawy ważne dla nawigatora - praktyka, który sam ma zamiar wykreślić mapę (siatkę) Merkatora, ale nie są decydujące i nawigator nie musi posiąść całej wiedzy na ten temat.

Powiększona szerokość [V]

Definicja "Powiększonej szerokości" jest jedna, ale zawarte w tej definicji różne określenia powodują, że mamy do czynienia z wieloma określeniami "powiększonej szerokości", na przykład:

Jak to rozumieć.
Podstawową miarą odległości na mapie Merkatora jest [1 Mm], czyli wielkość łuku na równiku odpowiadający 1' długości geograficznej [1'λ]. Należy pamiętać, że na równiku minuta długości geograficznej [1'λ], równa się jednej minucie szerokości geograficznej [1'φ]. Czym dalej na północ lub południe minuty szerokości geograficznej zmieniają swój wymiar liniowy (odwzorowanie na walec), rozciągają się, natomiast równik ma stałą długość i kształt koła, dlatego podstawą do obliczeń brana jest 1' długościowa.

Wiemy, że na mapie Merkatora, poczynając od równika każda następna minuta szerokości geograficznej jest większa w wymiarze liniowym, jest rozciągana. Pytanie, w jaki sposób.
Jest to bardzo skomplikowane i nie ma sensu dokładnie tego opisywać - to jest domeną kartografów. Nawigator ma mieć o tym tylko pojęcie i świadomość, i to taką, aby mógł sam wykreślić sobie siatkę mapy Merkatora, gdy to mu będzie niezbędnie potrzebne.

Wartość wielkości "powiększonej szerokości" odczytujemy w tablicach nawigacyjnych (TN), lub możemy sami sobie obliczyć według wzoru. Do obliczenia "powiększonej szerokości" stosuje się wiele wzorów. Przytoczmy wzory mniej skomplikowane:

Dla idealnej kuli

V = 7915,70447' ∗ log tg [45° + (φ ⁄ 2)]

Dla elipsoidy Bessela
Kula ziemska jest bryłą zwaną geoidą, która kształtem zbliżona jest do elipsoidy, dlatego do obliczenia powiększonej szerokości [V] stosuje się poniższy wzór.

V = 7915,70447' ∗ log tg [45° + (φ ⁄ 2)] − ae2 sin φ − [(ae4) ⁄ 3] sin3 φ
a 3437,747' Wartość wielkiej półosi, jako promienia wielkiego koła równikowego, wyrażona w minutach kątowych
e 0,0816963 Mimośród elipsoidy ziemskiej   e = √ (1 − (b² ⁄ a²))
a - pół długości dłuższej średnicy kuli ziemskiej (promień równikowy)
b - pół długości krótszej średnicy kuli ziemskiej (promień biegunowy)
0,00667437  
e4 0,00004519  

Obliczmy i porównajmy:

φ Wartość tablicowa z Tablic Nawigacyjnych TN-62 wg wzoru na V Ze wzoru na idealną kulę
10° 599,1 603,07
20° 1217,3 1225,14
30° 1876,9 1888,37
40° 2607,9 2622,70
50° 3456,9 3474,47
60° 4507,5 4527,36
70° 5944,3 5965,91
80° 8352,6 8375,20
90° brak brak

Jak widać, różnice są i to dość znaczne.
Dlatego wprowadza się dodatkowe poprawki, pomińmy ten temat dla naszego lepszego samopoczucia.

Jak widać w miarę oddalania się od równika, odległość ta wyraźnie rośnie (zgodnie z przebiegiem funkcji tangens). W TN-62, wartości powiększonej szerokości obliczono ze wzoru dla elipsoidy Bessela i te będziemy brali do dalszych obliczeń siatki mapy Merkatora. Dlaczego tyle miejsca poświęcamy powiększonej szerokości? Bo jest ona podstawowym elementem przy konstrukcji mapy Merkatora i najtrudniejsza w zrozumieniu przez początkujących nawigatorów. Dlatego należało przynajmniej minimalnie objaśnić skąd się to wzięło.
Obliczając siatkę Merkatora machnijmy ręką na kartografów i ich skomplikowane wzory, bierzmy do ręki najnowsze TN (chodzi o datę wydania) i obliczajmy naszą mapę. Należy po prostu korzystać z Tablic Nawigacyjnych i basta!
Pytanie - skąd wziąć TN. Oczywiście mapy nikt nie będzie kreślił w domu, a dopiero w miarę potrzeb na jachcie. A na jachcie są dostępne TN i to rozwiązuje nasz problem.
Uwaga końcowa: nauka czyni stałe postępy. Sposoby obliczeń ciągle się zmieniają i są dokładniejsze od poprzednich. Zasada obliczania i kreślenia mapy nie zmienia się, zmienia się dokładność obliczeń.

Matematyczne ujęcie mapy Merkatora

Dwie rzeczy zależą od nawigatora, o których on sam decyduje, przy konstrukcji mapy Merkatora.

Trójkąt drogowy (nawigacyjny) oraz trójkąt Merkatora
Trójkąt drogowy (nawigacyjny) oraz trójkąt Merkatora
—Rys.  W obydwu trójkątach tylko kąty są identyczne; mają tą samą wartość i te same jednostki (stopnie).

Jeżeli przyjrzymy się obu trójkątom, to zauważymy, że wspólny element, które je łączy to kąt α, czyli KDd. Porównajmy kąty tych trójkątów ze sobą.

tg α = a ⁄ rφ
ponieważ  a = rλ cos φ   to   tg α = (rλ cos φ) ⁄ rφ
tg α' = rφ ⁄ rV

tg α = tg α'
podstawiamy powyższe wzory i przekształcamy
(rλ cos φ) ⁄ rφ = rλ ⁄ rV
rV = rφ sec φ

Powyższy wzór nazywamy różnicą powiększonej szerokości [rV].

Różnica powiększonej szerokości jest to odległość dwu równoleżników na mapie Merkatora wyrażona w minutach powiększonej szerokości.

Obliczanie siatki mapy

Obliczanie danych dla wykreślenia siatki mapy Merkatora sprowadza się do następujących kolejnych czynności.

1.  Obliczenia szerokości konstrukcyjnej mapy, czyli φK

φK = (φ1n) ⁄ 2
φK - szerokość konstrukcyjna
φ1 - dolny równoleżnik
φn - górny równoleżnik

2.  Obliczenia długości liniowej 1' długości dla danej skali mapy w [mm]

l = (1852000 ⁄ P) cos φK
P - skala mapy
l - długość minuty długościowej w [mm]

3.  Obliczenie odległości w [mm] poszczególnych równoleżników od równoleżnika u dołu mapy, a więc w rezultacie szerokości siatki

φ1
φ2    V2 − V1 = rV2
φ3    V3 − V1 = rV3




φn    Vn − V1 = rVn

Sφ = rV ∗ l
[mm]

4.  Obliczenie odległości w [mm] południków od południka skrajnego, a więc w rezultacie długości siatki mapy.
Oblicza się w podobny sposób jak φn w punkcie 3.

Lλ = rλ ∗ l
[mm]

5.  Obliczanie odległości w [mm] między poszczególnymi równoleżnikami i południkami siatki mapy.

Za mała rozdzielczość ekranu.
Z uwagi na przejrzystość przykładu, proszę odwrócić ekran na poziomo, lub skorzystać z urządzenia o większym ekranie.
Przykład:

Obliczmy siatkę mapy Merkatora mając dane: φ1 = 50°53'0 N ; φn = 54°08'0 N
λ1 = 000°15'0 W ; λn = 003°00'0 E
P = 1:300 000
Rysujemy równoleżniki co 30' od 51°
Rysujemy południki co 30' od 000°
1. obliczamy φK

φK = (50°53'0 + 54°08'0) ⁄ 2 = 52°30'5

2. obliczamy długość liniową minuty długości [l]

l = (1852000 ⁄ 300000) ∗ cos 52°30'5

log 1852000 = 6,26764
log cos φK = 9,78436
colog 300000 = 4,52288

log l = 0,57488
l = 3,76mm

3. obliczamy różnicę powiększonej szerokości [rV]

Vn = 3859,7 (z tablic dla φ = 54°08'0)
...
V1 = 3539,9 (z tablic dla φ = 50°53'0)

rV = 319,8

5. obliczamy szerokość i długość siatki czyli mapy [Sφ i Lλ] w [mm]

Sφ = rV ∗ l = 319,8 ∗ 3,76 = 1202,448mm = 120,2 cm
rλ = λn − λ1 = (+003°00'0) − (−000°15'0) = (+003°15'0)
rλ = 195'0
Lλ = rλ ∗ l = 195'0 ∗ 3,76 = 733,2 mm = 73,3 cm

Wymiary naszej siatki mapy to 120,2cm x 73,3cm

Teraz przystępujemy do określenia położenia równoleżników i południków [ad. 5].


φ V rV l Smm
50°53'0 3539,9      
51°00'0 3551,0 11,1 3,76 41,7
51°30'0 3598,8 58,9 3,76 221,4
52°00'0 3647,1 107,2 3,76 403,0
52°30'0 3696,0 156,1 3,76 586,9
53°00'0 3745,4 205,5 3,76 772,6
53°30'0 3795,4 255,5 3,76 960,6
54°00'0 3846,0 306,1 3,76 1150,9
54°08'0 3859,7 319,8 3,76 1202,4

λ l Lmm
000°15'0 W      
000°00'0 15' 3,76 56,4
000°30'0 E 45' 3,76 169,2
001°00'0 E 75' 3,76 282,0
001°30'0 E 105' 3,76 394,8
002°00'0 E 135' 3,76 507,6
002°30'0 E 165' 3,76 620,4
003°00'0 E 195' 3,76 733,2

W rubrykach Smm i Lmm podane są odległości w [mm] zawsze od skrajnego równoleżnika (φ = 50°53'0 N) i południka (λ = 000°15'0 W), dla każdego równoleżnika jak i południka.

Tak samo postępujemy, gdy chcemy narysować mapę na południe od równika, z tym, że wówczas odległości równoleżników obliczamy również od równika, czyli od górnej ramki mapy.

Rysujemy mapę

Praktyczne porady jak narysować mapę

Obliczyliśmy, że na naszej mapie minuta długościowa równa się 3,76mm. Jest rzeczą oczywistą, że nie jesteśmy w stanie tak dokładnie narysować odcinka o długości 3,76mm. Założyliśmy, że południki rysujemy co 30'. Jak to narysować?

Wiemy, że odcinek między południkiem 000° a 000°30' ma (169,2 – 56,4 = 112,8mm) i ten odcinek musimy podzielić na 30 równych części.

Rysujemy skośną "XY", linię łączącą te dwa południki, z tym, że linia ta musi być podzielna przez 30 (na przykład 300mm), ale dłuższa od 112,8mm. Z tej linii kreślimy linie równoległe do południków i dzielimy na dolnej ramce równoleżnik zawarty między 000° a 000°30' na 30 równych części.

Tak samo postępujemy przy dzieleniu odcinka szerokości geograficznej.

Mamy mapę. Wymiary siatki mapy to: 120,2cm x 73,3cm, ale brak marginesów. Dodajmy je, nasza mapa ma teraz wymiary: 130,2cm x 83,3cm. Taką powierzchnię ma cała podłoga w kabinie nawigacyjnej jachtu. W takim razie, jaka jest powierzchnia stołu nawigacyjnego na jachcie?. Z pewnością o wiele mniejsza, więc trzeba na nim pomieścić naszą mapę. Zakładamy, że powierzchnia stołu nawigacyjnego na jachcie to: 70 x 100 [cm]. Na ogół mapy są składane na "pół". Jeżeli naszą mapę złożymy na "pół" to otrzymamy [83,3 ⁄ 2 = 41,65cm],
a co zrobić z 130,2cm ?
Na upartego można, również złożyć na trzy części, ale taka mapa nie nadaje się do "pracy". Więc nie pozostaje nic innego jak podzielić ją na trzy części.

Wróćmy do naszej "tabelki" rozmiarów siatki mapy.

φ Smm Odległości między poszczególnymi równoleżnikami w [mm]
50°53'0   Skrajny dolny równoleżnik 00,0
51°00'0 41,7 41,7
51°30'0 221,4 179,7
52°00'0 403,0 181,6
52°30'0 586,9 183,9
53°00'0 772,6 185,7
53°30'0 960,6 188,0
54°00'0 1150,9 190,3
54°08'0 1202,4 251,5

Widzimy, że najlepiej będzie jak podzielimy naszą siatkę na trzy zazębiające się części (każda mapa nawigacyjna musi się zazębiać z sąsiednią):

Kolej na następną tabelkę:

φ
V
(rV) ∗ (l) Wysokość poszczególnych części
50°53' − 52°00'
3539,9 − 3647,1

107,2 ∗ 3,76

403,073mm --- 40,3cm
51°53' − 53°00'
3635,8 − 3745,4

109,6 ∗ 3,76

412,096mm --- 41,2cm
52°53' − 54°08'
3733,8 − 3859,7

125,9 ∗ 3,76

473,384mm --- 47,3cm

Wszystkie wartości dla [V] wzięto z TN. Przy odejmowaniu pominięto znaki, gdyż chodzi o bezwzględną wartość rV, oraz zachowanie kolejności obliczeń a co najważniejsze o przejrzystość.

Teraz już wiemy, na pewno, że potrzebujemy do narysowania naszej mapy, arkusz papieru o wymiarach 65 cm, na 100 cm.
A więc rysujmy:

Na arkuszu papieru o wymiarach (70cm na 100cm) na samym dole rysujemy poziomą linię, która będzie naszym skrajnym, dolnym równoleżnikiem (nanosimy na nim skalę dł.geogr. od punktu przy południku 50°53'), a jednocześnie równoleżnikiem dla szerokości geograficznej 50°53', 51°53' i 52°53'. Jednym słowem czarny punkt to początek naszej mapy, jej lewy dolny róg o współrzędnych φ = 50°53'N i λ = 000°15'W

Następnie rysujemy trzy pionowe skale szerokości geograficznej (południki):

Przy czym długość geograficzną będziemy odmierzać tylko od punktu zaznaczonego na rysunku. Długość geograficzna tego punktu wynosi λ = 000°15' W

Jest jeszcze inny sposób narysowania mapy:

Drzewa nikt do lasu nie wozi. Po co w takim razie rysować mapę, kiedy na statku map jest pod dostatkiem. Takie mapy, gdzie są tylko równoleżniki i południki nazywamy Arkuszem zliczeniowym. Do czego taki arkusz służy?

W nawigacji do graficznych rozwiązań wielu problemów nawigacyjnych, np. prądów, pozycji obserwowanej z kątów poziomych, zliczenia drogi, wachlarz namiarów, kiedy mamy mapę na której żeglujemy w małej skali i co godzinne nanoszenie pozycji stwarza problemy, itd.

W astronawigacji do wykreślania PO (pozycji obserwowanej) z ciał niebieskich.

W zasadzie, chodzi o to, aby nie niszczyć mapy nawigacyjnej (cena mapy) ciągłym wycieraniem gumką. Kończy się to "wymazaniem" mapy, np. sondaży (głębokości), lub innych oznaczeń na mapie i mapa może przestać być użyteczna.