Nawigacja morska: żegluga po ortodromie

Nawigacja morska

Żegluga po ortodromie

Ortodroma

Ortodroma jest krótszym łukiem koła wielkiego przechodzącego przez dwa punkty (AB) na powierzchni Kuli Ziemskiej.

Ortodroma jest najkrótszą drogą między dwoma punktami na powierzchni Kuli Ziemskiej.
Koło wielkie przechodzące przez dwa punkty (AB) przecina równik w dwóch punktach, które leżą na linii prostej przechodzącej przez środek kuli. Punkty przecięcia się koła wielkiego z równikiem są oddalone od siebie o 180°.
Punkty leżące na kole wielkim posiadające największą szerokość nazywamy wierzchołkami.
Każde koło wielkie posiada dwa wierzchołki. Jeden z nich leży na półkuli północnej, drugi na południowej. Wierzchołek koła wielkiego leżący najbliżej ortodromy nazywamy wierzchołkiem ortodromy.
Różnica wierzchołków ortodromy wynosi 180°.
Równoleżniki wierzchołków są styczne do koła wielkiego.
Ortodroma przecina południk wierzchołka koła wielkiego pod kątem prostym. Kąt drogi ortodromy w tym punkcie wynosi 090° lub 270°.
Kąt zawarty między północną częścią południka punktu wyjścia nazywamy kątem początkowym (α).
Kąt zawarty między północną częścią południka punktu przeznaczenia, a ortodromą nazywamy kątem końcowym (przyjścia) (β).

Przebieg ortodromy na mapie Merkatora

Ortodroma przecina wszystkie południki pod różnymi kątami. Swoim wygięciem skierowana jest w stronę bieguna.

Zastosowanie żeglugi po ortodromie

Stosujemy powyżej 400Mm, do 400Mm nie zyskujemy nic na drodze. Tutaj, mała uwaga - ta opcja została przyjęta w zamierzchłych czasach, a jej celem była ekonomia. Szczególną rolę odegrała w czasach, kiedy wielkie transatlantyki rywalizowały o "Błękitną Wstęgę Atlantyku Północnego". Niestety, dzisiaj zastosowanie ortodromy jest "prawie" zerowe. Ale warto znać ten problem.

Największy zysk na odległości uzyskujemy gdy punkt wyjścia i przeznaczenia leżą na tej samej szerokości, ale nie na równiku i kiedy różnica długości jest duża. Najmniejszy zysk mamy gdy punkty A i B leżą na małych szerokościach lub gdy rλ jest mała. W pierwszym wypadku ortodroma jest zliczona do równika, a w drugim do południka.

W dużych szerokościach nie zawsze możemy odbywać żeglugę po ortodromie, gdyż wygięta bardzo silnie ku biegunowi przechodziłaby przez obszary zajęte lodami, mgły, silne przeciwne wiatry, zysk na takiej ortodromie mógłby być mniejszy, albo mógłby być stracony przez zmniejszenie szybkości, wymijanie gór lodowych, pokonywanie wiatru. Żegluga po ortodromie ma zastosowanie na Północnym Atlantyku i na Oceanie Spokojnym. W licznych przypadkach stosuje się żeglugę mieszaną, gdzie częściowo przebywa się drogę po ortodromie, a częściowo po loksodromie.

Droga po ortodromie

Korzyści z żeglugi po ortodromie.
Zasadnicza rzecz - zysk na drodze.

Ortodromę dzielimy na małe odcinki, które łączymy loksodromami, po których steruje statek z jednego punktu do drugiego. W ten sposób następuje połączenie żeglugi po ortodromie z żeglugą po loksodromie, uzyskując przez to:

1. Możliwie najkrótszą drogę (ortodroma).
2. Możliwość sterowania wg kompasu (loksodroma).

Postępowanie przy obliczaniu drogi po ortodromie

Obliczając ortodromę musimy znaleźć odpowiedź na następujące pytania:

Droga po ortodromie

Ponieważ ortodroma jest łukiem koła wielkiego, w takim razie wraz z południkami punktów przez, które przechodzi tworzy Δ sferyczny na powierzchni Ziemi.

Elementami tego Δ są:

bok AB - droga po ortodromie
bok APn - dopełnienie szerokości punktu A
bok BPn - dopełnienie szerokości punktu B
α - kurs początkowy
β - kurs końcowy
- różnica długości punktu A i B


Drogę po ortodromie oblicza się z dowolnego wzoru na długość boku AB z wyszczególnionego Δ sferycznego, gdy dane są pozostałe boki i kąt między nimi zawarty.

sem x = sem rλ cos φA cos φB
sem d = sem x + sem rφ
cos d = sin φB sin φA + cos φB cos φA cos rλ
sem x = sem rλ cos φA cos φB sec rλ
sec d = sec rλ sec x

Wyprowadzenie wzoru na odległość ortodromiczną

cos d = cos (90°–φA) cos (90°–φB) + sin (90°–φA) sin (90°–φB) cos rλ
cos d = sin φA sin φB + cos φA cos φB cos rλ   (wzór cosinusowy)

cos d = sin φA sin φB + cos φA cos φB (1 – 2 sem rλ)    [wymnażamy]
cos d = sin φA sin φB + cos φA cos φB2 cos φA cos φB sem rλ
cos (φBφA) = sin φA sin φB + cos φA cos φB
cos rφ = sin φA sin φB + cos φA cos φB

cos d = cos rφ2 cos φA cos φB sem rλ
12 sem d = 12 sem rφ2 cos φA cos φA sem rλ   /:(–2)
sem d = sem rφ + cos φA cos φB sem rλ

sem x = cos φA cos φB sem rλ
sem d = sem rφ + sem x

Uwagi do wzorów:

Wzór na odległość ortodromiczną może być stosowany we wszystkich przypadkach:

Droga po loksodromie

Z trójkąta drogowego

Aby dokładnie obliczyć "d", musimy dokładnie obliczyć KDd. Dlatego KDd obliczamy ze wzoru tg KDd, a potem wartość KDd podstawiamy do sec KDd.

Jak już wiemy tak obliczona droga nie może przekraczać 600Mm. Ortodromy są o wiele dłuższe, więc ponad 600Mm, zboczenie nawigacyjne "a" nie będzie linią prostą, a krzywą wypukłą w stronę ortodromy, więc loksodroma zostanie również "zakrzywiona", a tym samym skrócona. Aby temu zapobiec musimy wprowadzić poprawki.
Poprawkę taką nazywamy uśrednioną szerokością (φ). Do naszego φ dodajemy z odpowiednim znakiem, wartość tablicową i otrzymujemy φ. Wartość tą odczytujemy w tabeli.

Zysk na ortodromie    dLOKS – dORT = (zysk)

Kurs początkowy i końcowy ortodromy

Przy obliczaniu kursu początkowego i końcowego ortodromy możemy stosować następujące wzory:

  1. Wzór połówkowy z analogii Nepera
  2. Wzór sinusowy
  3. Układ tabeli ABC

Ad.1.

Jeżeli b>a wówczas we wzorze drugim wartość sinusa będzie ujemna. Aby tego uniknąć należy dane przestawić z tym, że i w wyniku kąty A i B muszą być przestawione.
Ponieważ kąty w trójkącie sferycznym mogą przybierać wartości od 000° - 180°, dlatego otrzymane wartości wyrażamy w mierze połówkowej.
α - pierwszy znak od bieguna widocznego
β - pierwszy znak od bieguna niewidocznego
drugie znaki od rλ

Ad.2.

Uwaga: nie można określić ćwiartek!

Ad.3.

Porównanie Δ sferycznego astronomicznego z Δ biegunowym nawigacyjnym

Oznaczenie Δ nawigacyjny Δ sferyczny Oznaczenie
Szerokość pozycji początkowej φA φ Szerokość pozycji zliczonej
Szerokość pozycji końcowej φB δ Deklinacja ciała niebieskiego
Różnica długości rλ gλ Miejscowy kąt godzinny
Kurs początkowy α ώ Azymut ciała niebieskiego
Kurs końcowy β υ Kąt paralaktyczny

Argumenty wejściowe do tabeli ABC:

A  →  φA – rλ (argumenty dla α)  –  φB – rλ (argumenty dla β )
A  →  φB – rλ (argumenty dla α)  –  φA – rλ (argumenty dla β )

Argument wyjściowy z tabeli ABC:

C  ←  φAα  –  φBβ

Oznaczenie ćwiartek:

Dotyczy kąta α
(C+) jednoimienne z φA
(C–) różnoimienne z φA
             Dotyczy kąta β
(C+) różnoimienne z φB
(C–) jednoimienne z φB

Drugie znaki zależą od rλ

Wierzchołek ortodromy

Wierzchołek ortodromy jest najwyżej położonym punktem, przez który przechodzi ortodroma. Znajomość jego jest potrzebna:

Celem obliczenia współrzędnych wierzchołka wykorzystuje się poprzednio obliczone kursy; początkowy i końcowy. Wierzchołek może leżeć między południkami punktu wyjścia i przeznaczenia lub poza jednym z nich, czyli na zewnątrz trójkąta.
Wierzchołek leży wewnątrz trójkąta sferycznego jeżeli kąty α i β są kątami ostrymi.

Wierzchołek leży poza jednym z nich (południków), jeżeli jeden z uzyskanych kątów jest większy od 90°. W tym wypadku leży on zawsze poza południkiem na, którym opiera się kąt większy niż 90°.

Ortodroma przecina południk wierzchołka pod kątem 90°. Południk wierzchołka tworzy wraz z pozostałymi bokami trójkąt prostokątny.

Do obliczenia pozostałych elementów możemy stosować regułę pięcioboku Nepera:

Znak φw jest znakiem bieguna widocznego, aby otrzymać długość wierzchołka musimy do długości punku A dodać z odpowiednim znakiem rλw.

Punkty podziału ortodromy

Współrzędne punktów podziału oblicza się z prostokątnego trójkąta sferycznego opartego na biegunie i wierzchołku ortodromy. Z trójkąta tego oblicza się szerokość dowolnie obranego punktu na ortodromie. Również z tego trójkąta możemy obliczyć kursy jakimi należy iść od punktu do punktu.

Danymi w tym trójkącie są:
φw i rλz (dowolnie obrana różnica długości)

Dla założonej rλz otrzymujemy φz punktu zwrotnego "Z".

λz = λA + (±rλz)
obrana dowolnie

Ilość punktów podziału powinna być jak największa, gdyż zmniejsza się róznica między drogą po ortodromie, a poszczególnymi loksodromami. Po obliczeniu współrzędnych punktów podziału należy te punkty nanieść na mapę generalną lub arkusze zliczeniowe oraz połączyć loksodromami.

W rejonach gdzie są prądy, KDd należy obliczyć z uwzględnieniem prądów. Nanoszenie całkowitej ortodromy w praktyce jest w zasadzie zbyteczne. Potrzebna ona jest po to aby zorientować się czy przechodzimy przez obszary bezpieczne czy też nie. W praktyce nanosimy punkty zwrotne, łączymy je dopiero potem, jeżeli pozycja obserwowana nie odbiega daleko od obliczonej. Jeżeli odbiega nanosimy zazwyczaj nowe gałęzie ortodromy.

Kursy dla punktów podziału

Kursy dla punktów podziału ortodromy obliczamy według tabeli ABC.

Drugi znak zależy od - rλ

Przykłady

Matematyczne obliczenie ortodromy (klasycznej)

Przykład matematycznego obliczenia ortodromy klasycznej.

Dane: pozycja początkowa φA = 60°00'0 N ; λA = 004°00'0 W ; pozycja końcowa φB = 55°00'0 N ; λB = 049°00'0 W ; Z = co 9° (około).
Szukane: dORT = ? ; dLOKS = ? ; zysk = ? ; α i β = ? ; φw i λw = ? ; φZn i λZn = ? ; αn = ?

1. Obliczamy rφ oraz rλ
φB = +55°00'0
(–)  φA = +60°00'0
rφ = –5°00'0

rφ = –300'0
λB = –049°00'0
(–)  λA = –004°00'0
rλ = –045°00'0

rλ = –2700'0
 


2. Obliczamy odległość po ortodromie.
sem x = sem rλ cos φA cos φB sec rφ
sec d = sec x sec rφ
 
log sem rλ = 9,16568
log cos φA = 9,69897
log cos φB = 9,75859
log sec rφ = 0,00166
log sem x = 8,62490

log sec x = 0,03824
log sec rφ = 0,00166
log sec d = 0,03990
d = 24°11'5
dORT = 1451,5Mm
 


3. Obliczamy odległość po loksodromie
 
φA = +60°00'0
(+)  φB = +55°00'0
∑φ = +115°00'0



2 =                        →       φśr = +57°30'0
(+)  popr.z tabeli =         –0'5
φ = +57°29'5

Uwaga: wartość poprawki z tabeli jest interpolowana

d = rφ sec KDd
tg KDd = (rλ cos φ)
log 2700 = 3,4313638
log cos 57°29'5 = 9,7303157
(+)  colog 300 = 7,5228787
log tg KDd = 0,6845582

log 300 = 2,4771213
(+)  log sec KDd = 0,6936472
log d = 3,1707685

d = 1481,73
dLOKS = 1481,73Mm
 


4. Obliczamy zysk
dLOKS – dORT = 1481,73 – 1451,50 = 30,23Mm


No i tutaj powinniśmy zakończyć liczenie ortodromy, bo zysk jest znikomy. Ale dla wprawy i samej ciekawości policzmy całą ortodromę.


5. Obliczamy kąt początkowy i końcowy ortodromy
 
a = 90° – φA = 90° – (+55°) = 35°00'0
b = 90° – φB = 90° – (+60°) = 30°00'0
(a – b) ⁄ 2 = 02°30'0
(a + b) ⁄ 2 = 32°30'0
C ⁄ 2 = 22°30'0




log cos a–b ⁄ 2 = 9,99959
log cosec a+b ⁄ 2 = 0,07397
log ctg C ⁄ 2 = 0,38278
log tg A+B ⁄ 2 = 0,45634
→   = 70°43'5
log sin a–b ⁄ 2 = 8,63968
log sec a+b ⁄ 2 = 0,26978
log ctg C ⁄ 2 = 0,38278
log tg A–B ⁄ 2 = 9,29224
→   = 11°05'5
 


α = [A+B ⁄ 2] + [A–B ⁄ 2] = N 81°49'W = 278°
β = [A+B ⁄ 2] – [A–B ⁄ 2] = S 59°38'W = 239°5


6. Obliczamy współrzędne wierzchołka
cos φw = cos φA sin α







tg rλw = cosec φA ctg α

log cos φA = 9,69897
log sin α = 9,99556
log cos φw = 9,69453
φw = 60°20'1 N



log cosec φA = 0,06247
log ctg α = 9,15777
log tg rλw = 9,22024
w = –009°25'4

λA = –004°00'0
(+)  rλw = –009°25'4
λw = –013°25'4
λw = 013°25'4 W
 


7. Obliczamy punkty podziału
Założyliśmy, że punkty podziału na ortodromie poprowadzimy co 9° długości.

punkt-A          φA = 60°00'0 N ; λA = 004°00'0 W
wierzchołek    φw = 60°20'1 N ; λw = 013°25'4 W

Jak widzimy wierzchołek ortodromy jest oddalony od pozycji A o ≈ 9°. Wobec tego nie pozostaje nam nic innego jak odcinek ortodromy między wierzchołkiem a pozycją B podzielić na mniej więcej równe odcinki, zbliżone do ≈ 9° długości.

 
λw = –013°25'4
(–)  λB = –049°00'0

w-B = +035°34'6
 


w-B = 035°34'6 (2134,6) ÷ 9° (540'0) = 3,95

więc odcinek ortodromy między wierzchołkiem a pozycją B możemy podzielić na cztery części

2134'6 ÷ 4 = 533,65 (8°53'60)

W ten sposób obliczyliśmy λ dla każdego punktu podziału (Z) i tak:

Z1    rλZ1 = 008°53'6     λZ1 –022°19'0
Z2    rλZ2 = 017°45'2     λZ2 –031°10'6
Z3    rλZ3 = 026°40'8     λZ3 –040°06'2

Nie pozostało nic innego jak obliczyć φ każdego punktu podziału:

tg φZ = tg φw cos rλZ
Z 008°53'6 017°45'2 026°40'8
log tg φw 0,24445 0,24445 0,24445
log cos rλZ 9,99475 9,97881 9,95111
log tg φZ 0,23920 0,22326 0,19556
φZ 60°02'6 59°07'1 57°29'1

Zróbmy zestawienie punktów podziału i ich pozycje geograficzne:
pozycja φ λ
A 60°00'0 N 004°00'0 W
W 60°20'1 N 013°25'4 W
Z1 60°02'6 N 022°19'0 W
Z2 59°07'1 N 031°10'6 W
Z3 57°29'1 N 040°06'2 W
B 55°00'0 N 049°00'0 W

8. Obliczamy kursy (KDd) między punktami podziału.

Możemy to zrobić za pomocą wzoru wykorzystując analogię Nepera.

cos αz = sin φw sin rλz
  Z1 Z2 Z3
z 008°53'6 017°45'2 026°40'8
log sin rλw 9,18919 9,48418 9,65225
log sin rφw 9,93898 9,93898 9,93898
log cos αzn 9,12817 9,42316 9,59123
α S 82° W S 74°5 W S 67° W
α 262° 254°5 247°

KDd można również obliczyć za pomocą tabeli ABC.

9. Rozwiązanie całej ortodromy
pozycja φ λ KDd od-do
A 60°00'0 N 004°00'0 W (A→W) 278°
W 60°20'1 N 013°25'4 W (W→Z1) 262°
Z1 60°02'6 N 022°19'0 W (Z1→Z2) 254°5
Z2 59°07'1 N 031°10'6 W (Z2→Z3) 247°
Z3 57°29'1 N 040°06'2 W (Z3→B) 239°5
B 55°00'0 N 049°00'0 W  
dORT 1451,5 Mm
dLOKS 1500,25 Mm
zysk 48,75 Mm

Graficzne przedstawienie ortodromy

Matematyczne obliczanie ortodromy (klasycznej), której wierzchołek leży poza ortodromą.

Przykład matematycznego obliczania ortodromy (klasycznej), której wierzchołek leży poza ortodromą.

Praktycznie nikt takiej ortodromy nie oblicza i nikt po takiej ortodromie nie żegluje. Ortodroma taka kształtem jest zbliżona do południka i zysk na drodze jest kompletnie "zerowy". Aby nie być gołosłownym obliczmy taką ortodromę.

1. Obliczamy rφ oraz rλ

2. Obliczamy odległość po ortodromie.

3. Obliczamy odległość po loksodromie

Proszę zauważyć, że nie stosujemy tutaj φ. Tabela, z której odczytujemy φ opracowana jest dla max. rφ=21°, a w naszym wypadku rφ=33°. To sygnalizuje nam, że ortodroma jest "prawie" równoległa do południka, więc jakiekolwiek poprawki nie mają tutaj znaczenia.

4. Obliczamy zysk

dLOKS – dORT = 2163,0 – 2143,5 = 19,5 Mm
jak widzimy zysk jest rzeczywiście "zerowy", ale liczmy dalej, aby wykazać przebieg ortodromy oraz pozycję jej wierzchołka.

5. Obliczamy kąt początkowy i końcowy ortodromy

a = 90° – φA = 90° – (+27°) = 63°
b = 90° – φB = 90° – (+60°) = 30°
(a + b) : 2 = 46°30'0
(a – b) : 2 = 16°30'0
C : 2 = 10°00'0

6. Obliczamy współrzędne wierzchołka

7. Obliczamy punkty podziału ortodromy.

Ortodromę dzielimy na odcinki co 4° długości. Jak nam wiadomo punkty podziału ortodromy obliczamy w odniesieniu do wierzchołka ortodromy. A więc różnica długości między wierzchołkiem (W), a punktem początkowym (A) ortodromy wynosi rλ(A-W) = 62°06'0
Każdy kolejny punkt podziału ortodromy będzie miał swoją rλ powiększoną o 4°.

8. Obliczamy KDd między poszczególnymi punktami podziału, używając do tego tablic ABC.

(*) Uwaga
Z punktu Z4 do B obliczono KDd=199°, a powinien być równy β=197°.
Jak wytłumaczyć tę różnicę. Gdy porównamy odległości pomiędzy poszczególnymi punktami podziału, to zauważymy, że odległość między Z4 a B jest największa. Dlatego z punktu Z4 powinniśmy sterować 199° do połowy odległości odcinka Z4 – B, a drugą połowę, aż do punktu B 197°.


Reasumując: Nie ma sensu obliczać takiej ortodromy, bo i tak z niej nie skorzystamy.

Graficzne przedstawienie ortodromy
Poprzedni rozdział:
Żegluga po loksodromie
Następny rozdział:
Żegluga mieszana i zbieżność południków