Nawigacja morska: loksodroma i ortodroma

Nawigacja morska

Żegluga po loksodromie

Loksodroma i ortodroma

Linia biegnąca po powierzchni kuli ziemskiej, przecinająca południki geograficzne pod jednakowym kątem nazywana jest loksodromą. Jeżeli kąt ten będzie równy zeru to loksodroma pokrywać się będzie z jednym z południków geograficznych. Jeżeli kąt będzie równy 90° to loksodroma pokrywać się będzie z jednym z równoleżników geograficznych.

Loksodroma

Można więc powiedzieć, że loksodromami są wszystkie południki i równoleżniki geograficzne. W pozostałych przypadkach loksodroma tworzy spiralną linię, która stopniowo zmierza do bieguna.

Wykreślona na mapie Merkatora linia prosta (kurs) zawsze przecina południki pod takim samym kątem, a więc jest loksodromą. Jacht utrzymujący taki kurs względem kompasu porusza się po loksodromie - czyli nie po najkrótszej drodze (za wyłączeniem kiedy loksodromą jest jeden z południków geograficznych lub równik).

Najkrótszą odległością na kuli ziemskiej pomiędzy dwoma punktami jest ortodroma, czyli odcinek koła wielkiego, który zawarty jest między tymi punktami. Ortodromami i loksodromami są jedynie równik i południki geograficzne. Wybierając żeglugę po ortodromie największe korzyści otrzymuje się przy pokonywaniu dużych odległości, powyżej 500Mm, z dala od równika, gdy punkt wyjścia i punkt docelowy leżą na zbliżonej szerokości geograficznej.

Ortodroma

Wykreślona na mapie Merkatora ortodroma jest krzywą wybrzuszoną ku bliższemu biegunowi. Nawigując tradycyjnymi metodami żegluga po ortodromie staje się dość skomplikowana, co nie stanowi większego problemu jeżeli jacht wyposażony jest w odpowiednie urządzenia. Żegluga po ortodromie jest niczym innym jak żeglugą loksodromiczną, ponieważ odbywa się odcinkami loksodromy. A odpowiedni program komputerowy w połączeniu z odbiornikiem GPS może na bieżąco korygować kurs jachtu.

Loksodroma i ortodroma

Żegluga po loksodromie

Żeglugę po loksodromie nazywamy żeglugę przy, której droga statku tworzy linię pod jednakowymi kątami z południkami. W praktyce mamy do czynienia tylko z żeglugą po loksodromie, gdyż żegluga odcinkami ortodromy odbywa się po loksodromie.

Trójkąt loksodromiczny

Zasadnicze problemy żeglugi po loksodromie:

Oba problemy obliczamy zwykle wykresowo na mapie. Zachodzą jednak wypadki, kiedy musimy je rozwiązać rachunkowo (przy dużych odległościach, braku odpowiedniej mapy, gdy skala mapy jest mała).
Przy rachunkowym rozwiązaniu istnieją dwa sposoby:

1. Za pomocą średniej szerokości (Trójkąt drogowy)
2. Za pomocą powiększonej szerokości (Trójkąt Merkatora)

Δ ABC jest trójkątem prostokątnym przy wierzchołku C; elementami tego trójkąta są:
Bok AC = - różnica szerokości.
Bok CB = a - zboczenie nawigacyjne.
Bok AB = d - odcinek loksodromy.
kąt - symbol CAB = KDd

Trójkąt ten nazywamy trójkątem loksodromicznym.
Trójkąt loksodromiczny jest to trójkąt na kuli ziemskiej utworzony przez: różnicę szerokości, zboczenie nawigacyjne, loksodromę i KDd.
Boki Δ loksodromicznego są wyrażone w milach morskich (Mm).
Δ loksodromiczny nie jest Δ płaskim ani sferycznym, stąd też mamy trudności w wyprowadzeniu zależności tego trójkąta.

Trójkąt loksodromiczny i drogowy

Jeżeli trójkąt loksodromiczny ABC jest mały (droga nie przekracza 600 Mm) wówczas możemy go uważać za trójkąt płaski prostokątny o kącie prostym (90°) przy C, o tych samych elementach, które ma trójkąt loksodromiczny na kuli; taki trójkąt nazywamy drogowym.
Trójkąt drogowy jest to trójkąt płaski o tych samych elementach co trójkąt loksodromiczny na kuli.
Trójkąt drogowy nie istnieje. Służy on nam tylko do obliczeń.

Wyprowadzenie zależności między elementami trójkąta drogowego

wzory

Zboczenie nawigacyjne a średnia szerokość geograficzna

Zboczenie nawigacyjne a średnia szerokość geograficzna
a = rλ cosφ

Wzór na zboczenie nawigacyjne jest już nam znany, czas abyśmy go zastosowali do obliczeń.

Punkt wyjścia:

A – φA = 55° 00' 0 N
λA = 010° 00' 0 E

Punkt przeznaczenia:

B – φB = 60° 00' 0 N
λB = 012° 00' 0 E

Najpierw obliczamy różnicę szerokości i długości.

rφ = (±φB) – (±φA) = (+60° 00'0) – (+55° 00'0) = (+05° 00'0) = (+300'0)
rλ = (±λB) – (±λA) = (+012° 00'0) – (+010° 00'0) = (+002° 00'0) = (+120'0)

Z rysunku widzimy że:

Łuk CB = a1 = rλ cos φB = (+120'0) × cos 60° = 120'0 × 0,50 = 60,0 Mm
Łuk AD = a2 = rλ cos φA = (+120'0) × cos 55° = 120'0 × 0,57 = 68,8 Mm

a1 < a2

Statek płynąc z punktu A do punktu B przesunie się na wschód o 60,0 Mm; a z B do A przesunie się na zachód o 68,8 Mm.
Wynika to stąd, że wzór a = rλ cosφ nie jest łukiem równoleżnika ani φA, ani φB. Ażeby zboczenie nawigacyjne w obu wypadkach miało jednakową wartość - wyprowadzamy średnią wartość zboczenia nawigacyjnego.

Wartość ta jest bardzo bliska, gdybyśmy zboczenie nawigacyjne obliczali dla średniej szerokości (φśr).

a = rλ cos φśr

log rλ = log 120'0 = 2,07918
log cos 57° 30' 0 = 9,73022

log a = 1,80940
a = 64,4 Mm


W naszych dalszych obliczeniach przy zmianie "a" na "rλ" i odwrotnie, będziemy się posługiwać następującymi wzorami:

a = rλ cos φśr
rλ = a sec φśr

Stosowanie φśr powoduje pewną niedokładność (nieregularna zmiana funkcji cosφ), ale w praktyce przy odległościach do 600 Mm i przy szerokościach poniżej 60° wynik jest w zupełności wystarczający, oprócz wypadku, gdy loksodroma przecina równik. Zboczenie nawigacyjne ma ten sam znak, co - rλ.

Rozwiązanie I-go problemu loksodromy przy pomocy φśr , trójkątem drogowym

Trójkąt drogowy

Rozwiązanie rachunkowe:

Dane:    φA = 54° 30' 0 N
λA = 018° 30' 0 E
KDd = 027°
d = 49 Mm
Szukane: φB = ?
λB = ?

1. Obliczamy rφ:

 

rφ = d cos KDd
log d = 1,69020
log cos KDd = 9,94988
log rφ = 1,64008
rφ = + 43' 66

2. Obliczamy szerokość geograficzną:

φB = φA + rφ = +54° 30'0 + (+43'66) = 55° 13'7 N


3. Obliczamy średnią szerokość geograficzną:


4. Obliczamy zboczenie nawigacyjne, następnie różnicę długości:

 

rλ = d sin KDd sec φśr

log d = 1,69020
log sin KDd = 9,65705
log sec φśr = 0,23995
log rλ = 1,58720
rλ = + 38'66

5. Obliczamy długość geograficzną:

λB = λA + rλ = +018° 30'0 + (+38'66) = 019° 08' 7 E


6. Odpowiedź:

φB = 55° 13' 7 N ; λB = 019° 08' 7 E



UWAGA:: Nigdy nie zapominać o znakach przy "rφ" i "rλ", to bardzo ważne.

Pytanie, jak znaleźć właściwy znak?
Jest kilka sposobów, w zależności od zadania, jakie rozwiązujemy:

Rozwiązanie tablicowe (przy pomocy Tablic Nawigacyjnych) (TN). Rozwiązujemy to samo zadanie, z tymi samymi danymi.

1. Najpierw obliczamy "rφ" z tablicy, oraz "a" również z tablicy.

Argumentami wejścia do tablicy są: KDd i d, w wyniku, czego otrzymamy następujące dane:
rφ = + 43'66      a = +22,25 Mm

2. Obliczamy φB i φśr

φB = (+54° 30'0) + (+43'66) = (+55° 13'66) = 55° 13'7 N
φśr = (+54° 30'0) + (+55° 13'7) = (+109° 43'7) / 2 = + 54° 51'8 = 54° 51'8 N

3. "a" zamieniamy na "rλ" przy pomocy Tablic Nawigacyjnych (TN). Argumentami wejścia są: "a" i "φśr"

4. Obliczamy λB:

λB = λA + rλ = (+018° 30'0) + (+38'8) = 019° 08'8 E

5. Wynik:

φB = 55° 13' 7 N ; λB = 019° 08' 7 E

Rozwiązanie II-go problemu loksodromy trójkątem drogowym

Trójkąt drogowy
Dane:    φA = 57° 46'0 N
λA = 010° 44'0 E
φB = 56° 00'0 N
λB = 003° 00'0 E
Szukane: KDd = ?
d = ?

1. Obliczamy różnicę szerokości i długości:

rφ = φB – φA = (+56° 00'0) – (+57° 46'0) = (–1° 46'0) = (–106'0)
rλ = λB – λA = (+003° 00'0) – (+010° 44'0) = (–7° 44'0) = (–464'0)

2. Obliczamy φśr:

3. Obliczamy KDd:

Dlaczego w systemie ćwiartkowym mamy S i W ?
Odpowiedź jest przy obliczeniu różnicy szerokości i długości. Tam przy rφ jest znak "–" oraz przy rλ jest znak "–".

4. Obliczamy d, czyli drogę:

5. Odpowiedź:

KDd = 245°5
d = 274,75 Mm

REASUMUJĄC. Trójkąt drogowy wykorzystujemy:

Trójkąt Merkatora (Δ Merkatora)

Trójkąt Merkatora

Trójkąt Merkatora jest odpowiednikiem trójkąta loksodromicznego na mapie Merkatora.

Trójkąt Merkatora jest trójkątem prostokątnym o jednej przyprostokątnej równej różnicy długości geograficznej dwóch punktów leżących na mapie Merkatora i drugiej przyprostokątnej równej różnicy powiększonej szerokości geograficznej na mapie Merkatora.

Trójkąt Merkatora używa się przy obliczeniu φB ; λB lub KDd ; d przy pomocy powiększonej szerokości.
Δ loksodromicznemu odpowiada na mapie Δ Merkatora. Przy pomocy Δ Merkatora możemy obliczyć dokładnie KDd, natomiast "d" musimy obliczyć z Δ drogowego.

Elementy Δ Merkatora

rV = VBVA      różnica powiększonej szerokości
= λBλA      różnica długości
AB      droga, powiększona odległość
KDd      kurs, kąt drogi nad dnem
rλ i rV      wyrażone w minutach długościowych

Przeciwprostokątna AB jest odległością powiększoną w takim samym stopniu jak powiększona szerokość.

Trójkąt Merkatora

Δ A B C - drogowy (nawigacyjny)
Δ A B' C' - Merkatora

Δ drogowy Δ Merkatora Zależności
rV rV = rφ sec φśr
a rλ = a sec φśr
d AB' AB' = d sec φśr
KDd KDd  

Δ drogowy jest podobny do Δ Merkatora, który powstał z przemnożenia Δ loksodromicznego o sec φśr

Przykład:

Dane:     φA = 56° 11'0 N
λA = 002° 34'0 W
φB = 54° 00'0 N
λB = 007° 50'0 E
Szukane: KDd = ?

Obliczamy różnicę szerokości i długości:

rφ = φB – φA = (+54° 00'0) – (+56° 11'0) = (–2° 11'0) = (–131'0)
rλ = λB – λA (+007° 50'0) – (–002° 34'0) = (+010° 24'0) = (+624'0)

2. Obliczamy φśr:

3. Obliczamy różnicę powiększonej szerokości:

rV = VB - VA
VB = (+3846,0)   z TN dla równoleżnika 54° 00'0
VA = (+4074,5)   z TN dla równoleżnika 56° 11'0

(+3846,0) – (+4074,5) = (–228,5) rV = (–228,5)

"Powiększona szerokość" jest wyjaśniona w dziale Konstrukcja mapy Merkatora

4. Obliczamy KDd:

5. Obliczamy d:

Zamiana zboczenia nawigacyjnego (a) na różnicę długości (rλ) i odwrotnie.

Dla ułatwienia przeliczenia (a) na (rλ) i odwrotnie, w wypadku gdy nie posiadamy kalkulatora, możemy posłużyć się poniższą uniwersalną tabelką.

a = rλ cos φśr   rλ = a sec φśr
φśr cos φ sec φ   φśr cos φ sec φ
0,00 1,00 1,00   38,00 0,79 1,27
5,00 1,00 1,00   39,00 0,78 1,29
10,00 0,98 1,02   40,00 0,77 1,31
12,00 0,98 1,02   41,00 0,75 1,33
14,00 0,97 1,03   42,00 0,74 1,35
15,00 0,97 1,04   43,00 0,73 1,37
16,00 0,96 1,04   44,00 0,72 1,39
17,00 0,96 1,05   45,00 0,71 1,41
18,00 0,95 1,05   46,00 0,69 1,44
19,00 0,95 1,06   47,00 0,68 1,47
20,00 0,94 1,06   48,00 0,67 1,49
21,00 0,93 1,07   49,00 0,66 1,52
22,00 0,93 1,08   50,00 0,64 1,56
23,00 0,92 1,09   51,00 0,63 1,59
24,00 0,91 1,09   52,00 0,62 1,62
25,00 0,91 1,10   53,00 0,60 1,66
26,00 0,90 1,11   54,00 0,59 1,70
27,00 0,89 1,12   55,00 0,57 1,74
28,00 0,88 1,13   56,00 0,56 1,79
29,00 0,87 1,14   57,00 0,54 1,84
30,00 0,87 1,15   58,00 0,53 1,89
31,00 0,86 1,17   59,00 0,52 1,94
32,00 0,85 1,18   60,00 0,50 2,00
33,00 0,84 1,19   61,00 0,48 2,06
34,00 0,83 1,21   62,00 0,47 2,13
35,00 0,82 1,22   63,00 0,45 2,20
36,00 0,81 1,24   64,00 0,44 2,28
37,00 0,80 1,25   65,00 0,42 2,37
Przykład

W wyniku obliczeń otrzymaliśmy a = +13,145. Żeglowaliśmy blisko równoleżnika φ = 60°00'0. Mamy obliczyć rλ.

Z tabeli dla φ = 60°00'0 odczytujemy (dla wzoru rλ = a sec φśr ), sec φśr

sec φśr = 2,00

więc

rλ = +13,145 * 2,00 = +26'29
λPZ2 = (±λPZ1) + (±rλ) = (–007°05'0) + (+26'3) = –006°38'7 = 006°38'7W



Zliczenie matematyczne

Stosujemy przy częstych zmianach kursu. Polega na wykorzystaniu I-go problemu żeglugi po loksodromie. Przy pomocy poznanych wzorów moglibyśmy kolejno obliczyć współrzędne punktów zwrotnych dochodząc, aż do punktu końcowego. Sposób ten jest skomplikowany i niewygodny, przy założeniu, że manewrowanie odbywało się na niedużym obszarze, tzn. że między punktami krańcowymi (CG) nie przekracza 5°, możemy zsumować wszystkie różnice szerokości i zboczenia nawigacyjnego uzyskując Σrφ i Σa. Inaczej mówiąc sprowadzamy zagadnienie do rozwiązania trójkąta AGZ, z których Σrφ jest sumą wszystkich "φ", a Σa jest sumą wszystkich "a".

Σrφ = rφ1 + rφ2 + rφ3 + ... rφ
Σa = a1 + a2 + a3 + ... a
Zliczanie matematyczne

Dla obliczenia współrzędnych punktu końcowego używamy tabelki manewrowej:

Wartości do kolumn "rφ" oraz "a" znajdziemy w TN (Tablicach Nawigacyjnych), w tabeli zatytułowanej "Trójkąt nawigacyjny". Argumentem wejścia do tablicy jest odległość "d", oraz kurs (KDd) podany w systemie ćwiartkowym (np. S35°W), a to dlatego, że musimy wpisać do właściwej kolumny "+" lub "-".
Tabela oparta jest na wzorach:

Jak widzimy, w obu wzorach są te same dwie wartości "d" i "KDd", dlatego kolumna "KDd" w tabeli (TN) ma dwie podkolumny, jedna dla "rφ" a druga dla "a".

Przykład:

Dane:    φA = 54° 03'0 N
λA = 011° 00'0 E
Szukane: φB = ?
λB = ?

KDd1 = 053°5     d1 = 11,0Mm
KDd2 = 057°5     d2 = 27,0Mm
KDd3 = 288°0     d3 = 13,0Mm
KDd4 = 300°0     d4 = 16,2Mm
KDd5 = 264°5     d5 = 20,5Mm
KDd6 = 244°5     d6 = 11,0Mm

    a
KDd d "+" "–" "+" "–"
N53°5E 11,0 6,55 x 8,48 x
N57°5E 27,0 14,51 x 22,77 x
N72°0W 13,0 4,02 x x 12,36
N60°0W 16,2 8,10 x x 13,93
S84°5W 20,5 x 1,96 x 20,41
S64°5W 11,0 x 4,73 x 9,93
Σ 98,7 33,18 6,69 31,61 56,63

Odpowiedź:

φB = 54°29'5 N , λB = 010°17'2 E

Uwzględnienie dryfu
Przy działaniu wiatru (dryf) dodajemy do tabelki kolumnę na "pw" i wówczas nasze KDw = KDd. Oczywiście "pw" z odpowiednim znakiem.

Uwzględnienie prądu
Jeśli działa prąd o stałym kierunku i stałej szybkości to uważamy, że jacht był znoszony w danym czasie w kierunku jego działania. Znoszenie to traktujemy jako oddzielny kurs o danej szybkości prądu. Wypełniamy więc osobno rubrykę KDd i "d" np. Kp = 120° i Vp = 3,00w, działał w ciągu 2 godz. manewrowania kursami zmiennymi tzn. 3 x 2 = 6Mm i to będzie nasze "d".
Przy prądach pływowych, które z upływem czasu zmieniają swoje parametry, zamiast uwzględnić zmianę prądu co godzinę możemy obliczać prąd wypadkowy za pewien okres czasu. Podobnie jak zliczenie drogi, prąd możemy obliczyć wykresowo lub rachunkowo.

Poprzedni rozdział:
Jednostki miar oraz matematyka nawigacji morskiej
Następny rozdział:
Żegluga po ortodromie