Astronawigacja / Astronawigacja komputerowa - Rozdział 41

Astronawigacja

Astronawigacja komputerowa: Zliczanie drogi

Autorem opracowania jest kpt. ż.w. Waldemar Sadłoń.
Dziękuję za naukę i cierpliwość

41

Zliczanie matematyczne drogi znajdziemy na str.33. Obliczenia te bazują na podaniu odległości przebytej przez jednostkę, od pozycji do pozycji. Wielokrotnie to było omawiane, gdzie pokazano jak obliczyć PO bez konieczności wykreślania na mapie. Nawigator przy określaniu odległości między pozycjami bierze zawsze pod uwagę czas przejścia między pozycjami i szybkość jednostki z jaką pokonano dystans między tymi pozycjami.
Jeżeli te wielkości wprowadzimy do naszych wzorów to uzyskamy obliczenia, które ułatwią nam określenie PO. Nie musimy dodatkowo obliczać przebytą drogę lub zdejmować ją z mapy.
W praktyce mamy do czynienia zawsze z szybkością jednostki między pozycjami oraz czasem przejścia między tymi pozycjami.

Przypomnijmy: w astronawigacji na pozycji PZ1 robimy I-szą obserwację, a po jakimś czasie na pozycji PZ2 robimy 2-gą obserwację. Obie te pozycje są punktami wyjściowymi do dokonania obliczeń z naszych obserwacji i dlatego musimy znać ich wartości.
Aby z pozycji PZ1 przypłynąć do pozycji PZ2 musimy przejść przez pozycję PP1. Jest to w zasadzie nawigacja "urojona", statek bowiem zawsze płynie po KDd i nie zbacza na pozycję PP1.

Jak widzimy, między PZ1 a PZ2 mamy pozycję PP1, którą musimy uwzględnić.
Wobec tego musimy zliczyć drogę od PZ1 do PZ2, ale poprzez PP1 (pierwszy odcinek żeglugi), następnie z PZ2 do PO (drugi odcinek żeglugi). Najlepiej przedstawi to nam rysunek.


—Rys. 140  Zliczanie drogi

Zgodnie z tym co powyżej napisaliśmy, łatwo zauważyć:
— Pierwszy etap to dwa odcinki połączone razem, a mianowicie [PZ1 → PP1] + [PP1 → PZ2]
— Drugi etap to odcinek [PZ2 → PO]

Przedstawmy to wzorami:
Uwaga: wszystkie wartości obliczamy w stopniach dziesiętnych!

  • Etap pierwszy

    Odcinek PZ1 → PP1
    1 = (Δh1 ⁄ 60) cos ω1
    φPP1 = φPZ1 + rφ1
    φPP1 = φPZ1 + (Δh1 ⁄ 60) cos ω1
    φśr1 = (φPZ1 + φPP1) ⁄ 2 = (φPZ1 + φPZ1 + (Δh1 ⁄ 60) cos ω1) ⁄ 2 = φPZ1 + (Δh1 ⁄ 120) cos ω1
    rλ1 = (Δh1 ⁄ 60) sin ω1 sec φŚR1
    λPP1 = λPZ1 + rλ1
    λPP1 = λPZ1 + (Δh1 ⁄ 60) sin ω1 sec (φPZ1 + (Δh1 ⁄ 120) cos ω1)

    Odcinek PP1 → PZ2
    φPZ2 = φPP1 + t (v ⁄ 60) cos KDd
    φPZ2 = φPZ1 + (Δh1 ⁄ 60) cos ω1 + t (v ⁄ 60) cos KDd
    φśr2 = (φPZ1 + (Δh1 ⁄ 60) cos ω1 + φPZ2) ⁄ 2
    λPZ2 = λPP1 + t (v ⁄ 60) sin KDd sec φśr2
    λPZ2 = λPZ1 + (Δh1 ⁄ 60) sin ω1 sec (φPZ1 + (Δh1 ⁄ 120) cos ω1) + t (v ⁄ 60) sin KDd sec (φPZ1 + (Δh1 ⁄ 60) cos ω1 + φPZ2) ⁄ 2

  • Etap drugi

    Odcinek PZ2 → PO
    d1 = (Δh2 ⁄ 60) cosec (ω2 − ω1)
    3 = d1 cos (ω1 ± 90°) = (Δh2 ⁄ 60) cosec (ω2 − ω1) cos (ω1 ± 90°)
    φPO = φPZ2 + rφ3
    φśr3 = (φPZ2 + φPO) ⁄ 2
    3 = d1 sin (ω1 ± 90°) sec φśr3
    λPO = λPZ2 + rλ3
    φPO = φPZ2 + (Δh2 ⁄ 60) cosec (ω2 − ω1) cos (ω1 ± 90°)
    φśr3 = (φPZ2 + φPO) ⁄ 2
    3 = (Δh2 ⁄ 60) cosec (ω2 − ω1) sin (ω1 ± 90°) sec φśr3
    λPO = λPZ2 + (Δh2 ⁄ 60) cosec (ω2 − ω1) sin (ω1 ± 90°) sec (φPZ2 + φPO) ⁄ 2

Uwaga:
Jeżeli Δh2 < 0 to ω2 = ω2 + 180 ; ω2 = ω2
Jeżeli Δh2 = "+" to (ω1 + 90°) ; (ω1 − 90)

I to wszystko. Teraz trzeba to tylko zamienić na formuły w Excelu, a komputer sam policzy.


φpz2 = φpz1 + (Δh1 ⁄ 60) ∗ cos (radiany (ω1)) + t ∗ (v ⁄ 60) ∗ cos (radiany (KDd))

λpz2 = λpz1 + (Δh1 ⁄ 60) ∗ sin (radiany (ω1)) ∗ 1 ⁄ cos (radiany (φpz1 + (Δh1 ⁄ 120) ∗ cos (radiany (ω1)))) + t ∗ (v ⁄ 60) ∗ sin (radiany (KDd)) ∗ 1 ⁄ cos (radiany ((φpz1 + (Δh1 ⁄ 60) ∗ cos (radiany (ω1))) + φpz2) ⁄ 2)

φpo = φpz2 + (Δh2 ⁄ 60 ∗ 1 ⁄ sin (radiany (jeżeli (Δh2 < 0 ; (ω2 + 180 − ω1) ; (ω2 − ω1))) ∗ cos (radiany (jeżeli (Δh2 > 0 ; (ω1 + 90) ; (ω1 − 90))))

λpo = λpz2 + (Δh2 ⁄ 60) ∗ 1 ⁄ sin (radiany (jeżeli (Δh2 < 0 ; (ω2 + 180 − ω1) ; (ω2 − ω1)))) ∗ sin (radiany (jeżeli(Δh2 > 0 ; (ω1 + 90) ; (ω1 − 90)))) ∗ 1 ⁄ cos (radiany ((φpz2 + φpo) ⁄ 2))

Versinus

Funkcja trygonometryczna [semiwersus α] jest nam znana. Patrz str.24, gdzie mamy tą funkcję przedstawioną jako [sem gλ]. Jest to funkcja trygonometryczna połowy kąta.

sem α = sin² (α ⁄ 2) = (1 − cos α) ⁄ 2

Przedrostek "semi" w tym przypadku znaczy "pół", więc jest i kąt "cały". Wystarczy ostatnie wyrażenie pomnożyć przez 2 i otrzymamy [1 − cos α], i otrzymamy funkcję trygonometryczną "versus" czasami nazywaną "versinus" lub "sinus versus".
Bardzo rzadko stosowana, prawie zapomniana funkcja trygonometryczna, ale bardzo przydatna w Astronawigacji. Czym ona się charakteryzuje? Nie posiada wartości ujemnych i dlatego, podczas obliczeń nie trzeba zwracać uwagi na znaki przy obliczeniach, co jest częstym powodem pomyłek w obliczeniach. Oto wzór:

vers α = 1 − cos α

Podstawmy do wzoru wartości kąta: 000°; 090°; 180°; 270° i 360°
vers α = 1 − cos 000° = 1 − (1) = 0
vers α = 1 − cos 090° = 1 − (0) = 1
vers α = 1 − cos 180° = 1 − (−1) = 2
vers α = 1 − cos 270° = 1 − (0) = 1
vers α = 1 − cos 360° = 1 − (1) = 0

Dlatego warto ten wzór wykorzystać do obliczenia Δh i nie tylko. Δh obliczamy przy pomocy następującego wzoru:

vers Zz = (vers tλ cos φ cosδ) + vers z'

Zz - odległość zenitalna wysokości zliczonej słońca
tλ - miejscowy kąt czasowy c.n. (słońca)
φ - szerokość PZ
δ - deklinacja c.n. (słońca)
z' - odległość zenitalna c.n. w momencie kulminacji (słońca) = (φ − δ)

  • Po obliczeniu Zz, należy obliczyć Zs
  • Zs obliczamy odejmując od 90º zmierzoną i poprawioną wysokość słońca z sekstantu
  • Następnie obliczamy Δh ze wzoru:
Δh = Zz − Zs

I tutaj mamy ciekawą sytuację, od "gorszej" wartości odejmujemy "lepszą", gdzie dotychczas twierdziliśmy, że zawsze od "lepszej" odejmuje się "gorszą". Czy to błąd, czy to wyjątek? Ano popatrzmy.
Wiemy, że:
Δh = hs − hz
Ale hs = 90 − Zs oraz hz = 90° − Zz
Podstawmy do wzoru
Δh = (90° − Zs) − (90° − Zz)
Δh = 90° − Zs − 90° + Zz

Δh = Zz − Zs, więc wzór na Δh jest prawidłowy i jednocześnie jest wyjątkiem. Powyżej napisaliśmy, że "Dlatego warto ten wzór wykorzystać do obliczenia Δh i nie tylko". Jeżeli dokonujemy obserwacji słońca, które znajduje się w namiarze mniej więcej od 070° do 110° lub od 260° do 280°, czyli w pobliżu pierwszego wertykału, to możemy obliczyć z dużą dokładnością długość geograficzną PP, przekształcając znany nam wzór:

vers tλ = (vers Zs − vers z') ⁄ (cos φ cos δ)

Do obliczeń posłuży nam znany przykład ze str.32 G

Przykład

Dnia 04.08.1996 LT = 08h25m ; log = 17,2(PZ1) ; φPZ1 = 40°05'0 N; λPZ = 004°59'0 E ; KDd = 100° ; v = 2,5w ; a = 3m ; zmierzono wysokość słońca ho = 40°20'2 ; i = +1'8 ; ex = −0'2 ; Chr. = 08h25m30s ; St.Chr. = −3m30s ; średnie warunki atmosferyczne.

W tym przykładzie obliczono PP1 ; φPP1 = 40°04,3 N ; λPP1 = 005°03,2 E

A teraz obliczmy PP1 przy pomocy powyższych wzorów.
Przenieśmy już obliczone dane ze str.32 G:

to = 303°59,4
= 308°58,4 ; (gλ = 51°01,6 E);
δ = 17°07,6 N
z' = 22°57,4
hs = 40°33,5
ω = 102°
Δh = +3,3

A teraz obliczmy Δh przy pomocy dopiero co poznanego wzoru.

log vers tλ = 9,5694223
log cos φPZ1 = 9,8837232
(+)  log cos δ = 9,9803016

log vers x = 9,4334471

vers x = 0,27129830
(+)  vers z' = 0,07919980

vers Zz = 0,35049810
Zz = 49°29,8

Zs = 90° − hs = 90° − 40°33,5 = 49°26,5
Δh = Zz − Zs = 49°29,8 − 49°26,5 = +3,3

Obliczyliśmy Δh.

Kolej na obliczenie λPP1


vers Zs = 0,3497781
(−)  vers z' = 0,0791998

Vers (Zz − z') = 0,2705783

cos φPZ1 = 0,7651087
(∗)  cos δ = 0,9556560

(cos φ ∗ cos δ) = 0,7311807
vers tλ = 0,3700566
= 309°02,8

λ = tλ − to = 309°02,8 − 303°59,4 = +5°03,3
rφPP1 = Δh cos ω = +3,3 ∗ (−0,2079116 ) = −0,7
φPP1 = +40°05'0 + (−0,7) = +40°04,3

Wynik końcowy to:
φPP1 = 40°04,3 N   →   obliczony na str.32    φPP1 = 40°04,3 N
λPP1 = 005°03,3 E  →  obliczony na str.32    λPP1 = 005°03,2 E

Możemy śmiało powiedzieć, że wyniki są identyczne.



Wzory na obliczenie wysokości zliczonej słońca (hz)

1. Wysokość zliczona słońca:

  • sem (x) = sem (tλ) ∗ cos (φ) ∗ cos (δ) ∗ sec (z')
    sin (h) = cos (z') ∗ cos (x)
    h =
  • sem (x) = sem (tλ) ∗ cos (φ) ∗ cos (δ)
    sem (z) = sem (x) ∗ sem (z')
    z =
    h = (90° − z)
  • sin (h) = sin (φ) ∗ sin (δ) + cos (φ) ∗ cos (δ) ∗ cos (tλ)
    h =

Wzory mieszane, na hz oraz Azymut

1. Wzory na wysokość zliczoną i azymut.

cosec (p) = cosec (tλ) ∗ sec (δ)
cosec (x) = cosec (δ) ⁄ sec (p)
cosec (hz) = sec (p) ∗ sec (x ∼ φ)
cosec (ω) = cosec (p) ⁄ sec (hz)

Wyrażenie (x ∼ φ) oznacza, że od większej wartości odejmujemy mniejszą

Azymut

Jest bardzo dużo wzorów na obliczenie Azymutu. Wzory, mimo, że dają ten sam wynik jednak różnią się sposobem obliczanie. Są wzory bardzo proste, ale i trochę skomplikowane. Ciekawostką jest, że im bardziej prosty wzór tym więcej ma uwarunkowań. Wiemy jak obliczać Azymut przy pomocy TN (tablice ABC). Rozpatrzmy inne wzory:

  • cos φ = (sin δ − sin hz ∗ sin φ) ∗ (sec hz ∗ sec φ)
    wzór podaje Azymut w systemie pełnym (okrężnym).
    Warunek:
    Jeżeli (LHA <= 180°) to (ω = 360° − ω); (ω = ω)

  • sin ω = cos δ ∗ sec hz ∗ sin tλ
    wzór podaje Azymut w systemie ćwiartkowym.
    Warunek:
    Tabela
    Za mała rozdzielczość ekranu by prawidłowo wyświetlić tabelę
    Odwróć ekran lub skorzystaj z większego urządzenia
    Oznaczenie δ Wielkość δ Wielkość hz I-sza litera azymutu
    Równoimienne z φ Nie ma znaczenia Równoimienne z φ
    Równoimienne z φ δ < φ hz > hv Równoimienne z φ
    Różnoimienna z φ δ < φ hz < hv Różnoimienna z φ
    Różnoimienna z φ δ > φ Nie ma znaczenia Różnoimienna z φ
    Dodatkowo musimy obliczyć, niestety.
    hv = sin δ ∗ cosec φ

  • tan ω = (tan tλ ∗ sec (90° + (x − φ))) ∗ cos x
    wzór podaje Azymut w systemie ćwiartkowym.
    Warunek:
    a) tan x = tan δ ∗ sec tλ (dodatkowo musimy obliczyć),
    b) wartość x jest zawsze równoimienna z δ
    c) jeżeli tλ > 90° to również x > 90°
    d) pierwszy wskaźnik jest równoimienny z φ tylko w tym wypadku gdy x i φ są równoimienne przy równoczesnym x > φ. We wszystkich innych przypadkach jest różnoimienny z φ.

  • tan Z = (−sin tλ) ⁄ (tan δ ∗ cos φ − sin φ ∗ cos tλ)
    wzór podaje Azymut w systemie pełnym (okrężnym).
    Zaleca się używać go przy obliczaniu całkowitej poprawki.
    Warunek:
    Z > 0 Z < 0
    000° − 180° ω = 180° + Z ω = 360° + Z
    180° − 360° ω = Z ω = 180° + Z

    Po przeanalizowaniu wszystkich wzorów, stwierdzamy, że najlepszym wzorem do obliczenia Azymutu jest wzór w pkt.1. Ma najmniej obwarowań i wyrażony jest w systemie okrężnym, czyli dodatkowe obliczenia są zupełnie zbyteczne.


K O N I E C