Navipedia - Astronawigaja praktyczna... Pozycja - metody obliczania współrzędnych punktu wytycznego

Astronawigacja praktyczna ...

Pozycja — metody obliczania współrzędnych punktu wytycznego, czyli pozycji prawdopodobnej (PP)

Autorem opracowania jest kpt. ż.w. Waldemar Sadłoń.
Dziękuję za naukę i cierpliwość

28



Na początek trochę teorii.
W Astronawigacji rozróżniamy trzy sposoby obliczania współrzędnych punktu wytycznego, czyli Pozycji Prawdopodobnej [PP].

Metoda szerokościowa.
Metoda długościowa.
Metoda wysokościowa, czyli metoda Marcq St. Hilaire’a.

Rys.94
—Rys.94.    [PZ] - Pozycja Zliczona ; [Pn] - Biegun ziemski ; [G] - Rzut gwiazdy ; [kolor zielony] - Koło pozycyjne,
które na ogół nie przechodzi przez PZ, lecz w niewielkiej od niej odległości [=Δh] ; • [φ(A)] - punkt przecięcia się koła pozycyjnego z południkiem [PZ] ; [PP] - punkt przecięcia się koła pozycyjnego z ortodromą łączącą [PZ] z rzutem ciała niebieskiego [G] ; [λ(B)] - punkt przecięcia się koła pozycyjnego z równoleżnikiem [PZ].

Promień koła pozycyjnego to nic innego jak (z), z = (90° – h)   i równy jest   [(G – φ(A)] = (G – PP) = [G – λ(B)].

Rys.95
—Rys.95.    Powyższy rysunek "wyłuskaliśmy" dla przejrzystości oraz opisu każdej z wyżej wymienionych metod określania współrzędnych punktu wytycznego [PP].

Metoda szerokościowa

Polega na obliczeniu szerokości geograficznej punktu (A) z trójkąta sferycznego [φ(A)-Pn-G]. Z tego trójkąta znane nam są: bok [φ(A)-G)], który jest równy zmierzonej odległości zenitalnej (z), bok [Pn-G], równy odległości biegunowej (p) i kąt sferyczny [gλ], który jest miejscowym kątem godzinnym dla obserwatora znajdującego się w punkcie φ(A).
Metoda szerokościowa nie ma w praktyce zastosowania. Stosujemy ją tylko wówczas, gdy robimy obserwacje w czasie kulminacji ciała niebieskiego, albo przy obliczaniu szerokości z Gwiazdy Polarnej.

Metoda długościowa

Polega na obliczeniu długości geograficznej punktu (B) z trójkąta sferycznego [λ(B)-Pn-G]. Z tego trójkąta znane nam są: bok [λ(B)-G], równy (z). Bok [λ(B)-Pn] jest dopełnieniem szerokości (PZ), a bok [Pn-G] to (p), czyli (odległość biegunowa) dopełnienie deklinacji ciała niebieskiego, którą wyszukujemy (deklinację) w Almanachu.
Znając w trójkącie sferycznym trzy elementy, czyli trzy boki, możemy trygonometrycznie obliczyć kąt sferyczny [λ(B)-Pn-G]. Kąt ten jest niczym innym jak miejscowym kątem godzinnym danego ciała niebieskiego dla obserwatora znajdującego się w punkcie λ(B).
Obliczywszy miejscowy kąt godzinny, a tym samym miejscowy kąt czasowy ciała niebieskiego, obliczyliśmy jednocześnie długość geograficzną punktu (B).

λB = tλ – to
[wzór 21]

kąt czasowy (to) Greenwich znany nam jest pośrednio z chronometru poprzez odczytanie w Almanachu.

Metoda wysokościowa

Uniwersalna, może nawet zastąpić obie wyżej poznane metody. Jest najczęściej używaną dzisiaj metodą.
Polega ona na obliczeniu współrzędnych punktu przecięcia linii pozycyjnej z ortodromą łączącą pozycję zliczoną z rzutem gwiazdy, czyli współrzędnych punktu (PP). Punkt ten otrzymujemy częściowo drogą rachunkową, częściowo drogą wykreślną. Łatwo zauważyć, że wszystkie interesujące nas punkty leżą na jednej linii (ortodromie, która je łączy), (PZ); (PP) i (G). Aby na mapie otrzymać punkt (PP), musimy z pozycji (PZ) wykreślić małą część ortodromy (PZ-G) i na tej ortodromie od (PZ) odmierzyć odcinek (Δh). Jak wielki jest odcinek (Δh)?
Łatwo zauważyć (patrz rysunek), że:

Δh = (PP-G) – (PZ-G)
Δh = zPP(od PP) – zPZ(od PZ), czyli
Δh = (90° - hs) – (90° - hz)

(±)Δh = hs – hz
[wzór 22]

Ze wzoru wynika, że (Δh) może mieć znak dodatni (+) lub ujemny (–). Tak mówi algebra. Wyjaśnijmy na rysunkach, jak wykreślamy Δh gdy jest ona dodatnia a kiedy ujemna.
Jeżeli Δh ma znak (+) odmierzamy ją na linii namiaru (azymucie) w stronę (kierunku) ciała niebieskiego i rysujemy jako prostą prostopadłą do linii namiaru, jako Alp.
Jeżeli Δh ma znak (–) odmierzamy ją na linii namiaru (azymucie) w stronę (kierunku) przeciwną do ciała niebieskiego i rysujemy jako prostą prostopadłą do linii namiaru, jako Alp.

Czyli (+Δh) odkładamy "ku" ciału niebieskiemu, oraz (–Δh) odkładamy "od" ciała niebieskiego.

Rys.95a

Porównanie trzech metod obliczania punktów wytycznych.

Przy opisywaniu metody wysokościowej wspomnieliśmy o wykreślaniu (Δh) na mapie. Na Rys.95 zaznaczyliśmy taką mapę, która obejmuje tylko punkty wytyczne. Na mapie łatwiej to przedstawić, bo wszystkie linie są proste.

Rys.96 A, B
Rys.96 C, D

Popatrzmy na te rysunki. Pozycja statku zawsze znajduje się wewnątrz koła zatoczonego dookoła pozycji zliczonej (PZ) promieniem równym maksymalnemu przypuszczalnemu błędowi w zliczaniu drogi. Prosta (czerwony kolor) to nasza Alp (linia pozycyjna), którą otrzymaliśmy z obserwacji. Wobec tego pozycja statku może się znajdować tylko na cięciwie (CD). Środek cięciwy to punkt (PP) najbliżej położony w stosunku do pozycji zliczonej (PZ), czyli punkt przecięcia linii pozycyjnej z ortodromą łączącą pozycję zliczoną z rzutem gwiazdy.
Mając do dyspozycji tylko jedną linię, prawdopodobieństwo popełnienia dużego błędu jest najmniejsze w punkcie (PP) i od tego punktu prowadzimy dalszą nawigację.

Rys.96  A
Mamy tutaj przedstawioną "Metodę szerokościową". Obliczona i wykreślona Alp jest równoległa do równoleżnika PZ, więc też jest równoleżnikiem. Azymut (namiar) pokrywa się z linią południka. PP pokrywa się z punktem wytycznym φ(A), więc obliczyliśmy szerokość geograficzną. Jak widzimy, długości geograficznej nijak nie określimy, więc musimy przyjąć długość geograficzną punktu PZ. Oczywiście Δh w tym przypadku nie obliczamy, ponieważ od razu obliczamy szerokość geograficzną punktu φ(A), czyli PP. Δh wprowadziliśmy do rysunku tylko poglądowo.
Na mapie wykreślamy Alp jako równoleżnik, na nim zaznaczamy λPZ i z tego punktu (pozycji) dalej prowadzimy nawigację.

Rys.96  B
Jak widać, azymut nie pokrywa się z południkiem. Alp przecina, i południk PZ, i równoleżnik PZ pod jakimś kątem. Δh jest równa Δh z Rys.A. Mamy tutaj przedstawioną "Metodę wysokościową". PP określiliśmy rachunkowo, obliczając azymut i Δh, które następnie wykreśliliśmy z pozycji PZ. Teraz dopiero możemy określić współrzędne punktu PP odczytując je z mapy.
Z rysunku widać, że przy "małym" azymucie punkt wytyczny φ(A) znajduje się na PZ, natomiast punkt wytyczny λ(B) poza pozycją PZ.

Rys.96  C
Rysunki B i C różnią się wielkością azymutu. Tutaj sytuacja jest odwrotna. Duży azymut powoduje, że punkt wytyczny λ(B) jest na pozycji PZ natomiast punkt wytyczny φ(A) poza pozycją PZ.

Rys.96  D
Ponieważ Alp pokrywa się z południkiem mamy tutaj "Metodę długościową". Na mapie wykreślamy Alp jako południk, na nim zaznaczamy φPZ i z tego punktu (pozycji) dalej prowadzimy nawigację.

Rys.97

Wróćmy na chwilę do Rys.96 B i Rys.96 C azymuty na tych rysunkach minimalnie są odchylone od pionu (południka, Rys.96 B) jak i od poziomu (równoleżnika, Rys.96 C).
Łatwo można zauważyć, że (Rys.96 B) szerokość geograficzna pozycji PP niewiele się różni od szerokości geograficznej pozycji φ(A), oraz (Rys.96 C) długość geograficzna pozycji PP niewiele się różni od długości geograficznej pozycji λ(B).
Możemy tutaj wnioskować, że mimo odchylenia się azymutu od południka czy równoleżnika do obliczenia pozycji w tych przypadkach możemy użyć metody szerokościowej lub długościowej. I tak jest w praktyce. Azymut odchylony o około 10° od południka lub równoleżnika nie stanowi przeszkody aby te metody zastosować.

Popatrzmy uważnie na Rys.97 odchylenie azymutu, zarówno od południka jak i równoleżnika jest znaczne, około 50°. To dlaczego tutaj nie możemy zastosować obu metod (szerokościowej i długościowej) aby od razu otrzymać PO?
Z rysunku wynika, że różnice szerokości jak i długości geograficznej między PP a φ(A) i λ(B) nie należą do minimalnych. Jeżeli zastosujemy w tym przypadku obie metody (szerokościową i długościową) to nasza pozycja znajdzie się w punkcie X. W takim przypadku popełniamy bardzo duży błąd i to podwójnej wielkości (dwa razy większy od Δh).

Sumując:

Punkt PP otrzymujemy zawsze z przecięcia dwóch prostych prostopadłych do siebie (Alp i azymutu).
Analizując wszystkie rysunki od razu widzimy, że PP jest zawsze jednakowo oddalona od PZ, więc najdokładniejsza. To jest zaleta "Metody wysokościowej". Astronawigacja klasyczna jest opanowana, więc przystąpmy do określania pozycji z ciał niebieskich: słońca, księżyca, planet i gwiazd.

Jeszcze raz to samo, w trochę inny sposób - czyli powtórka tego o czym wyżej

Do określenia PP (w dalszej kolejności PO) na mapie, musimy mieć dwie przecinające się pod kątem prostym, proste: azymut (ω) oraz linię pozycyjną (alp). Miejsce ich przecięcia to PP. Punkt w którym te proste przecinają się, określamy przy pomocy (Δh).

Aby określić PP musimy mieć jakiś punkt wyjściowy, z którego zaczynamy kreślić na mapie nasze obliczenia. Tym punktem jest PZ. Wiadomo, że PZ w praktyce (na morzu) nie jest punktem a jakąś powierzchnią obarczona błędem obliczeń. Na ogół przyjmujemy, że jest to okrąg o niewiadomym promieniu. Oczywiście taki okrąg jest niemożliwy do wykreślenia na mapie, dlatego przyjmujemy jego domniemany środek i jako punkt nanosimy na mapę (patrz rysunki: str.17 oraz str.27 - rys.93a).
PP określamy trzema sposobami: metodą szerokościową, długościową lub wysokościową.

Na Rys.96A (alp) jest równoległa do równoleżnika. Bez względu jaką metodą (szerokościową lub wysokościową) określimy (φ) nie określimy tutaj długości (λ). Więc będzie to pozycja w połowie (dokładna) bo dokładnie określimy (φ) ale (λ) musimy przyjąć dla PZ czyli niedokładnie.
Analogicznie postępujemy przy określaniu długości (λ), patrz Rys.96D.

Wiadomo, że azymut (ω) zmienia się od 000° do 360°.
Popatrzmy na Rys.96B azymut wynosi około 010°. Tutaj stosujemy metodę wysokościową obliczając (Δh). Proszę zauważyć, (alp) przecina południk PZ w punkcie (φA). Jeżeli z PP poprowadzimy linię przerywaną do przecięcia się z południkiem PZ to przetnie ona południk bliziutko (φA), a tymczasem drugi punkt (λB) przecięcia się (alp) z równoleżnikiem znajduje się poza "obszarem" PZ. Wyprowadzając przerywaną linię z (λB), jak na Rys.97 otrzymamy pozycję X poza "obszarem" PZ. Czyli kompletnie błędną pozycję.
To zostało przedstawione na Rys.97. Jeżeli azymut (ω) jest większy od 010° to możemy stosować tylko metodę wysokościową. Na upartego stosując tutaj obie metody (szerokościową i długościową) obliczymy, że nasza pozycja znajdzie się w punkcie X, co jest absurdem.

Dodatkowe wyjaśnienie to: Jeżeli azymut (ω) mieści się w granicach od 350° do 010° oraz od 170° do 190° wówczas stosujemy metodę szerokościową bez popełnienia błędu. Możemy tutaj zastosować również metodę przypołudnikową, ale o tym niebawem w dalszej części.

Musimy jeszcze sobie odpowiedzieć na jedno pytanie. Jeżeli przy obliczaniu szerokości, długości i PP możemy stosować metodę wysokościową to po co nam metoda szerokościowa lub długościowa. Odpowiedź jest prosta. W metodzie wysokościowej jest dużo więcej obliczeń i dużo więcej cyfr. A jak mawiał Krzysztof Kolumb "... im więcej cyfr, tym więcej wrogów dla wyliczającego" i chyba miał rację, mimo, że było to 500 lat temu.

Pozycja z ciał niebieskich

Aby określić pozycję z jakiegokolwiek ciała niebieskiego muszą być spełnione dwa podstawowe warunki:

Do określenia pozycji korzystamy z następujących ciał niebieskich:

Ale, nie załamujmy rąk. Wszystko to wymyślili i opracowali ludzie dla ludzi, i można się tego nauczyć.



UWAGA!

Sposób liczenia logarytmów i cologarytmów w nawigacji i astronawigacji.


W następnych rozdziałach będzie można stwierdzić, po wykonaniu ręcznych obliczeń tudzież tych przez kalkulator, że wynik odbiega od rzeczywistosci. To jest jak najbardziej słuszne, ale w użyciu przez marynarzy do obliczeń jest niedobre, dlatego matematyka morska (dla marynarzy) wygląda trochę inaczej.

Przykładowo:
KDd = 027
cos 27 = 0,8910065
log cos 27 = –0,0501191

Jak widzimy log cos daje liczbę ujemną. Dodawanie na przemian w "słupku" liczb ujemnych z dodatnimi owocuje pomyłkami i to bardzo częstymi. Dlatego w matematyce morskiej wyeliminowano ujemne cyfry.
Cechy logarytmów funkcji mniejszych od jedności powiększone są o dziesięć (10), celem uniknięcia w tablicach nawigacyjnych, z których odczytujemy te wartości, znaków ujemnych. Jeżeli do (–0,0501191) dodamy 10 to otrzymamy 9,9498809.
Może się zdarzyć, że po dodaniu "słupka" otrzymamy przykładowo wynik 29,477387, wówczas wszystko to co przed 9,477387 odrzucamy, czyli w tym wypadku 2-kę.

W Almanachu Reed'a można się zapoznać dokładnie ze sposobem takiego liczenia. Czym więcej znaków przeciwnych, tym więcej pomyłek, a marynarz nie ma czasu się mylić.

· · ·


Logarytmy systemem marynarskim potrafimy obliczyć, pozostały jeszcze cologarytmy, z którymi w nawigacji jak i w astronawigacji mamy do czynienia.

Cologarytm równa się logarytmowi odwrotności danej liczby - to najkrótsze objaśnienie.

Przykładowo:

log 300000 = 5,4771213
colog 300000 = log = log 1 – log 300000 = 0 – 5,4771213 = –5,4771213

Jak widzimy mamy do czynienia z liczbą ujemną, a to nie jest wskazane w obliczeniach nawigacyjnych czy astronawigacyjnych.
Co z tym zrobić? Tak jak w przypadku logarytmów; powiększyć o 10 a wówczas otrzymamy (–5,4771213 + 10 = 4,5228787)

Tak więc colog 300000 = 4,5228787

Proszę to zapamiętać, bo w dalszej części nawigacji oraz w astronawigacji będziemy się spotykać z takim sposobem liczenia.

Poprzedni rozdział:
Astronawigacja klasyczna
Linia pozycyjna (Alp) i pozycja prawdopodobna (PP) ze Słońca
Następny rozdział:
Astronawigacja praktyczna
Słońce - Obliczanie linii pozycyjnej metodą szerokościową