Nawigacja morska

Ortodroma nie klasyczna

Sposoby obliczania ortodromy nie klasycznej oraz graficzny sposób dla ortodromy przechodzącej przez równik

8

Obliczanie ortodromy klasycznej jest żmudne i czasochłonne w odróżnieniu od ortodromy nie klasycznej. Różnica polega na tym, że w ortodromie klasycznej najważniejszy jest wierzchołek ortodromy w stosunku do którego wykonujemy wszystkie obliczenia. Natomiast w ortodromie nie klasycznej takim punktem jest punkt przecięcia się ortodromy z równikiem, bez względu gdzie leży pozycja wyjściowa i docelowa.

Proszę zauważyć, że wierzchołek ortodromy klasycznej może się przemieszczać (w zależności od przebiegu, "kształtu" ortodromy) po bardzo dużej powierzchni (po całej prawie półkuli). Natomiast przy ortodromie nie klasycznej punkt przecięcia się ortodromy z równikiem "przemieszcza się" tylko po równiku, a więc po linii. Mało wzorów i możliwość użycia kalkulatora daje nam możliwość szybkich i nieomylnych obliczeń.

Co już wiemy o ortodromie? Przy obliczaniu ortodromy musimy mieć punkt odniesienia; jest nim, albo wierzchołek ortodromy, albo punkt przecięcia się ortodromy z równikiem.

• Ortodroma na mapie Merkatora ma kształt łuku, z wybrzuszeniem skierowanym w stronę bieguna.
• Wierzchołek ortodromy, albo leży na ortodromie, albo leży poza ortodromą.
• Powyższe uwagi odnoszą się do ortodromy, której oba punkty (wyjściowy i docelowy) leżą po tej samej stronie równika (na północ albo na południe).

Na podstawie powyższego rysunku, możemy stwierdzić:

• Taka ortodroma ma dwa wygięcia (oba oczywiście w stronę odpowiedniego bieguna).
• Posiada zatem dwa wierzchołki, po stronie północnej i południowej półkuli.
• Logika podpowiada, że powinniśmy podzielić ją na dwie ortodromy; od pozycji wyjściowej do równika oraz od równika do pozycji docelowej i każdą z osobna obliczać. Niestety jest to zbyt skomplikowane, czasochłonne i o pomyłkę nie trudno, ze względu na istnienie dwóch wierzchołków.
• Rozwiązano to w inny sposób; a mianowicie za główny punkt wyjściowy do obliczeń przyjęto punkt przecięcia się ortodromy z równikiem i od tego zaczyna się obliczanie takiej ortodromy.

Aby pokazać różnice i sposoby obliczeń ortodromy, proponuję następujący podział, którego w zasadzie nie ma, ale zróbmy go na użytek własny:

• Ortodroma klasyczna.
• Ortodroma nie klasyczna – dlaczego taka nazwa. Otóż jest to ortodroma, przecinająca równik. Biorąc pod uwagę przebieg ortodromy, musimy rozważyć kilka aspektów jej obliczenia.
• Przejście ortodromy przez południk (λ = 000°00,0) Greenwich i równik.
• Przejście ortodromy przez południk (λ = 180°00,0) zmiany daty i równik.
• Przejście ortodromy tylko przez równik, bez przejścia przez południk Greenwich lub zmiany daty.
• Wykorzystanie wzorów ortodromy nieklasycznej do obliczenia ortodromy klasycznej.
• Ortodroma klasyczna nie przecina równika, ale południk zero tak.
• Ortodroma klasyczna nie przecina równika, ale południk zmiany daty tak.
• Ortodroma klasyczna nie przecina równika, ani południka zero, ani południka zmiany daty.

Dane, określające tą ortodromę:
A = punkt wyjścia, pozycja początkowa żeglugi po ortodromie. Jego współrzędne (φ_A; λ_A).
B = punkt dojścia, pozycja końcowa żeglugi po ortodromie. Jego współrzędne (φ_B; λ_B).
λ_o = długość geograficzna punktu przecięcia się ortodromy z równikiem.
K_o = kąt przecięcia się ortodromy z równikiem. Mamy tutaj dwa kąty.

K_oA = KDd liczymy od punktu zerowego do punktu A
K_oB = KDd liczymy od punktu zerowego do punktu B

z = punkt zwrotu, współrzędne punktu zwrotu (φ₁; λ₁), (φ₂; λ₂) ... itd.
z1 - z2, odcinek loksodromiczny (kolejny numer pozycji na, której zmieniamy kurs.
Kn. = kąt drogi nad dnem między poszczególnymi punktami zwrotu.
φ_o; λ_o = współrzędne punktu zero; to - φ_o = 00°00,0 i λ_o = obliczamy wzorem.

Zanim przejdziemy do obliczeń ortodromy "nie klasycznej", musimy przyjąć do wiadomości, że punktem odniesienia ortodromy "nie klasycznej" jest punkt przecięcia się ortodromy z równikiem, który leży na równiku. Jest on wierzchołkiem tejże ortodromy. Będziemy go nazywać punktem zerowym. Ortodroma "nie klasyczna" ma dwa punkty zerowe (wierzchołki), ich długość (λ) różni się o 180°. Musimy to zapamiętać.

Sposób obliczania:
Wzory, jakimi obliczamy ortodromę nie klasyczną

Ortodroma z punktu [2. a.]
Przejście ortodromy przez południk (λ = 000°00,0) Greenwich i równik.

Kolejność jest następująca:

• Obliczanie współrzędnych punktu zerowego (wierzchołka) ortodromy.
  
  
  φ_o = 00°00,0
  λ_o = (λ_A + λ_B) / 2 − tan (tan((λ_B − λ_A)/2) ∗ sin (φ_A + φ_B) ∗ cosec (φ_B − φ_A))
  
  
• Kurs [K_o] pod jakim ortodroma przecina równik w miejscu przecięcia się z równikiem.
  
  
  ctg K_o = tan φ_A ∗ cosec (λ_A − λ_o) = tan φ_B ∗ cosec (λ_B − λ_o)
  
  
  Wzór zawiera dwa wzory równorzędne, co to oznacza?
  Wskaźnik [φ_A] oznacza, że kurs [K_o] liczony jest od punktu zero w kierunku pozycji A.
  Wskaźnik [φ_B] oznacza, że kurs [K_o] liczony jest od punktu zero w kierunku pozycji B.
  Z tym, że:
  — jeżeli kierunek ortodromy jest na "North" to w wypadku gdy otrzymamy wynik: K_o < 0 to (K_o + 360°) jeżeli zaś K_o > 0 to (K_o + 000°)
  — jeżeli kierunek ortodromy jest na "South" to zawsze dodajemy 180° (K_o + 180°)
  
  Powyższe dwie uwagi dotyczą K_oB.

• Długość ortodromy.
  Liczymy od punktu zerowego do pozycji "A" oraz od punktu zerowego do pozycji "B" i oba odcinki sumujemy.
  
  
  sin (D_A) = sin φ_A ∗ sec K_o
  sin (D_B) = sin φ_B ∗ sec K_o
  D_ORT = (D_A + D_B) ∗ 60 ; wynik w Mm
  lub
  D_ORT = ((sin φ_A ∗ sec K_o) + (sin φ_B ∗ sec K_o)) ∗ 60
  
  
  Uwaga. Wartości [K_o] bierzemy do obliczeń dla:
  φ_A ; obliczone K_o = od punktu zerowego do pozycji A
  φ_B ; obliczone K_o = od punktu zerowego do pozycji B
• Podział ortodromy na odcinki loksodromiczne wykonujemy zawsze od wierzchołka (punktu zerowego) do pozycji "A" oraz do pozycji "B".
  Są dwa sposoby podziału ortodromy.
• Dla zadanej długości punktów zwrotnych, wówczas obliczamy szerokości tych punktów.
• Dla zadanej szerokości punktów zwrotnych, wówczas obliczamy długości tych punktów.

Wzory i przykładowe tabele do obliczeń.
— Obliczanie szerokości przy zadanej długości dla punktów zwrotnych.

Tabela (przykładowa)

λz	λ	λ − λo	φz	Kn
λz1	−40°	−20°	obliczamy
λz2	−30°	−10°	obliczamy
λo	−20°	00°	00°00,0
λz3	−10°	+10°	obliczamy
λz4	00°	+20°	obliczamy

Kolumna [λ] mówi nam, że ortodromę podzielono na odcinki λ = 10°; (zadana długość) na "W" i na "E" od wierzchołka. Zakładamy, że wyliczona λ_o = 020°00,0 W. Kolumnę [Kn] omówimy w dalszej części.

— Obliczanie długości przy zadanej szerokości dla punktów zwrotnych.

Tabela (przykładowa)

φz	φ	λz	Kn
φz1	30°	obliczamy
φz2	20°	obliczamy
φz3	10°	obliczamy
φo	00°	= λo
φz4	−10°	obliczamy
φz5	−20°	obliczamy
φz6	−30°	obliczamy

Kolumna [φ] mówi nam, że ortodromę podzielono na odcinki φ = 10° na "N" oraz "S" od punktu zerowego. (zadana szerokość)
Kolumnę [Kn] omówimy w dalszej części.

Uwaga: przy obliczaniu współrzędnych punktów zwrotnych, [K_o] przyjmuje wartość właściwego kierunku ortodromy, czyli od pozycji "A" do pozycji "B". Czyli od punktu zerowego do pozycji B [K_oB].

— W kolumnie [Kn] obliczamy kursy loksodromiczne miedzy pozycjami (punktami) zwrotnymi.

[φ i λ] to wartości kolejnych punktów zwrotnych.

Jak wyglądają obliczenia ortodromy nie klasycznej pokazano w tabelach poniżej. W tabelach wypełniamy tylko kolorowe pola, resztę policzy komputer. Oto tabela podziału ortodromy na zadaną długość.

New York (A) - Cape Town (B) ; (Atlantyk)

Ortodroma z punktu [2. b.]
Przejście ortodromy przez południk (λ = 180°00,0) zmiany daty i równik.

Kolejność jest następująca:

• Obliczanie współrzędnych punktu zerowego (wierzchołka) ortodromy.
  
  
  φ_o = 00°00,0
  λ_o = (λ_A + λ_B) ⁄ 2 − tan (tan((λ_B − λ_A) ⁄ 2) ∗ sin (φ_A + φ_B) ∗ cosec (φ_B − φ_A)) + (±180)
  
  
  Dlaczego do wzoru [λ_o] dodajemy [±180].
  Punkt przecięcia się południka zmiany daty z równikiem nie jest punktem początkowym układu współrzędnych geograficznych, a punktem końcowym.
  — jeżeli (λ_A + λ_B) ⁄ 2 − tan (tan((λ_B − λ_A) ⁄ 2) ∗ sin (φ_A + φ_B) ∗ cosec (φ_B − φ_A)) < 0 ; dodajemy (+180)
  — jeżeli (λ_A + λ_B) ⁄ 2 − tan (tan((λ_B − λ_A) ⁄ 2) ∗ sin (φ_A + φ_B) ∗ cosec (φ_B − φ_A)) > 0 ; dodajemy (−180)
• Kurs [K_o] pod jakim ortodroma przecina równik w miejscu przecięcia się z równikiem.
  
  
  ctg K_o = tan φ_A ∗ cosec (λ_A − λ_o) = tan φ_B ∗ cosec (λ_B − λ_o)
  
  
  Wzór zawiera dwa wzory równorzędne, co to oznacza?
  Wskaźnik [φ_A] oznacza, że kurs [K_o] liczony jest od punktu zero w kierunku pozycji A.
  Wskaźnik [φ_B] oznacza, ze kurs [K_o] liczony jest od punktu zero w kierunku pozycji B.
  Z tym, że:
  — jeżeli kierunek ortodromy jest na "North" to w wypadku gdy: K_o < 0 to (K_o + 360°) ; K_o > 0 to (K_o + 000°)
  — jeżeli kierunek ortodromy jest na "South" to zawsze dodajemy 180° (K_o + 180°)
  
  
• Długość ortodromy
  Liczymy od punktu zerowego do pozycji "A" oraz od punktu zerowego do pozycji "B" i oba odcinki sumujemy.
  
  
  sin (D_A) = sin φ_A ∗ sec K_o
  sin (D_B) = sin φ_B ∗ sec K_o
  D_ORT = (D_A + D_B) ∗ 60 ; wynik w Mm
  lub
  D_ORT = ((sin φ_A ∗ sec K_o) + (sin φ_B ∗ sec K_o)) ∗ 60
  
  Uwaga. Wartości [K_o] bierzemy do obliczeń dla:
  φ_A ; obliczone K_o = od punktu zerowego do pozycji A
  φ_B ; obliczone K_o = od punktu zerowego do pozycji B
• Podział ortodromy na odcinki loksodromiczne wykonujemy zawsze od wierzchołka (punktu zerowego) do pozycji "A" oraz do pozycji "B".
  Są dwa sposoby podziału ortodromy.
• Dla zadanej długości punktów zwrotnych, wówczas obliczamy szerokości tych punktów.
  
  
  tan φ_z = sin (λ − λ_o) ∗ ctg K_o
  
  
• Dla zadanej szerokości punktów zwrotnych, wówczas obliczamy długości tych punktów.
  
  
  λ_z = sin (tan φ ∗ tan K_o) + (±λ_o)
  
  Warunek: Jeżeli [sin(tan φ ∗ tan K_o) + (±λ_o) < λ_o], to
  
  
  λ_z = (sin (tan φ ∗ tan K_o) + (±λ_o)) + 360
  
  
• [Kn], obliczamy w/g wzoru:
  
  
  ctg Kn = ctg K_o ∗ cos φ ∗ cos (λ − λ_o)
  
  [φ i λ] to wartości kolejnych punktów zwrotnych.

Oto tabela podziału ortodromy na zadaną szerokość.

Sydney (A) - Vancouver (B) ; (Pacyfik)

Ortodroma z punktu [2. c.]
Przejście ortodromy tylko przez równik.

Kolejność jest następująca:
Stosujemy identyczne wzory jak w punkcie [Ortodroma z punktu [2 a)].
Ortodroma nie przecina żadnego południka, ani południka zerowego, ani południka zmiany daty.

Port Elisabeth (A) - Rangoon (B) ; (O. Indyjski)

Ortodroma z punktu [2. d. I.]
Ortodroma klasyczna nie przecina równika, ale południk zero tak.
Stosujemy generalnie te same wzory co w punkcie [2 a)].

W tym wypadku punkt zero (wierzchołek ortodromy) nie leży na ortodromie, a poza nim. Jak wiemy każda ortodroma ma dwa wierzchołki oddalone od siebie o 180°. Pytanie - który punkt zero przyjąć za punkt wyjściowy do obliczeń? To bardzo łatwo stwierdzić, wynika to z obliczeń, a dodatkowo, żeby mieć pewność to wierzchołek (punkt zero) musi leżeć po stronie pozycji, która jest bliżej równika (dot. to szerokości geograficznej).
Zazwyczaj przy obliczaniu ortodromy klasycznej wzorami ortodromy nie klasycznej mamy do czynienia z trzema wierzchołkami (dwa punkty zerowe oraz wierzchołek ortodromy klasycznej) co zmienia tok liczenia długości ortodromy, gdyż wierzchołem ortodromy klasycznej w tym wypadku jest małą "przeszkodą". Ale i z tym matematyka sobie radzi.
Zaczynamy od tabeli, w której obliczono wszystkie elementy ortodromy klasycznej wzorami ortodromy nie klasycznej.

Cape Town (A) - Buenos Aires (B) ; (Atlantyk)

Opis:

• λ_o = 69,19 czyli 69°11,4 E. Jak widzimy punkt zero leży na równiku po stronie pozycji Cape Town (A), ponieważ pozycja A jest bliżej równika.
• K_oA i K_oB Są sobie równe = 229°, ponieważ liczone są od punktu zero w kierunku pozycji A i B. Punkt zero leży poza ortodromą, więc z jego pozycji do pozycji A i B musi być ten sam kurs.
• Długość ortodromy. Wiemy, że "Liczymy od punktu zerowego do pozycji „A” oraz od punktu zerowego do pozycji „B” i oba odcinki sumujemy". Ponieważ mamy do czynienia z ortodromą klasyczną, gdzie pozycje, wyjściowa i docelowa znajdują się po tej samej stronie równika, długość obliczamy wg wzoru:
  
  
  D_ORT = 60 ∗ (180 − (D_A + D_B))
  wynik w Mm
  
  
  To znaczy, że odległość [D_A] liczymy od punktu zerowego, który leży po stronie pozycji A, natomiast odległość [D_B] liczymy od punktu zerowego, który leży po stronie pozycji B. A to oznacza, że nie znamy odległości między pozycjami A i B, bo wierzchołek ortodromy klasycznej, który leży na ortodromie jest „przeszkodą”, więc musimy zastosować we wzorze dopełnienie do 180°.
  Może zaistnieć taki przypadek, że wierzchołek ortodromy klasycznej będzie się znajdował poza ortodromą, wówczas zastosowanie ma wzór:
  
  
  D_ORT = 60 ∗ (D_A − D_B)  lub  D_ORT = 60 ∗ (D_B − D_A)
  
  
  Który z tych wzorów użyjemy zależy od wzajemnego położenia pozycji względem siebie jak i względem punktu zero.
  Odjemna to dalsza pozycja, a odjemnik to bliższa pozycja względem punktu zero.
• Kolumna [Kn]. Wiemy, że ortodroma klasyczna może posiadać wierzchołek, który leży na ortodromie, a może leżeć też poza ortodromą. W naszym przypadku (tabela powyżej) wierzchołek leży na ortodromie w okolicy pozycji φ_w = −41,03 tj. 41°01,8 S.
  W związku z tym, kurs z pozycji A ma generalny kierunek SW, a to znaczy, że do obliczonego kursu [K_o] musimy dodać 180°.
  Kąt początkowy [α] = 247,4°, a kąt końcowy [β] = 242,4° (patrz tabela).

Ortodroma z punktu [2. d. II.]
Ortodroma klasyczna nie przecina równika, ale południk zmiany daty tak.

Stosujemy generalnie te same wzory co w punkcie [2 b)].
W tym wypadku punkt zero (wierzchołek ortodromy) nie leży na ortodromie. Jak wiemy każda ortodroma ma dwa wierzchołki oddalone od siebie o 180°.
Pytanie - który punkt zero przyjąć za punkt wyjściowy do obliczeń? To bardzo łatwo stwierdzić, wynika to z obliczeń, a dodatkowo, żeby mieć pewność to wierzchołek (punkt zero) musi leżeć po stronie pozycji, która jest bliżej równika (dot. to szerokości geograficznej).
Zazwyczaj przy obliczaniu ortodromy klasycznej wzorami ortodromy nie klasycznej mamy do czynienia z trzema wierzchołkami (dwa punkty zerowe oraz wierzchołek ortodromy klasycznej) co zmienia tok liczenia długości ortodromy, gdyż wierzchołem ortodromy klasycznej w tym wypadku jest „przeszkodą”. Ale i z tym matematyka sobie radzi. Zaczynamy od tabeli, w której obliczono wszystkie elementy ortodromy klasycznej wzorami ortodromy nie klasycznej.

Poniżej, przykładowa tabela.

Auckland (A) - Valparaiso (B) ; (Pacyfik)

Opis:

• λ_o = −41,08 czyli 041°04,8 W. Jak widzimy punkt zero leży na równiku po stronie pozycji Valparaiso (B), ponieważ pozycja B jest bliżej równika.
• K_oA i K_oB są sobie równe = 218°, ponieważ liczone są od punktu zero w kierunku pozycji A i B. Punkt zero leży poza ortodromą, więc z jego pozycji do pozycji A i B musi być ten sam kurs.
• Długość ortodromy. Wiemy, że „Liczymy od punktu zerowego do pozycji "A" oraz od punktu zerowego do pozycji "B" i oba odcinki sumujemy”. Ponieważ mamy do czynienia z ortodromą klasyczną, gdzie pozycje, wyjściowa i docelowa znajdują się po tej samej stronie równika, długość obliczamy wg wzoru:
  
  
  D_ORT = 60 ∗ (180 − (D_A + D_B))
  wynik w Mm
  
  
  To znaczy, że odległość [D_A] liczymy od punktu zerowego, który leży po stronie pozycji A, natomiast odległość [D_B] liczymy od punktu zerowego, który leży po stronie pozycji B.
  Może zaistnieć taki przypadek, że wierzchołek ortodromy klasycznej będzie się znajdował poza ortodromą, wówczas zastosowanie ma wzór:
  
  
  D_ORT = 60 ∗ (D_A − D_B)  lub  D_ORT = 60 ∗ (D_B − D_A)
  
  
  Który z tych wzorów użyjemy zależy od wzajemnego położenia pozycji względem siebie, jak i względem punktu zero. Odjemna to dalsza pozycja, a odjemnik to bliższa pozycja względem punktu zero.
• Kolumna [Kn]. Wiemy, że ortodroma klasyczna może posiadać wierzchołek, który leży na ortodromie, a może leżeć też poza ortodromą. W naszym przypadku (tabela powyżej) wierzchołek leży na ortodromie w okolicy pozycji φ_W = −51,97 tj. 51°58,2S.
  W związku z tym, kurs z pozycji A ma generalny kierunek SE, a to znaczy, że do obliczonego kursu musimy dodać 180°.
  Kąt początkowy [α] = 129,6°, a kąt końcowy [β] = 049,7°.

Ortodroma z punktu [2. d. III.]

Ortodroma klasyczna nie przecina równika, ani południka zero, ani południka zmiany daty.

Stosujemy generalnie te same wzory co w punkcie [2 a)].
Może tutaj zaistnieć ciekawe zjawisko. Ani jeden wierzchołek czy punkt zerowy nie leży na ortodromie. Ortodroma znajduje się „między” swoimi wierzchołkami. W takim przypadku stosujemy jeszcze inny wzór do obliczenia długości ortodromy, a mianowicie.

Mamy tutaj dwie możliwości, należy wybrać właściwą. Właściwa jest ta, że odjemna to pozycja znajdująca się dalej od obliczonego punktu zero od odjemnika, pozycji znajdującej się bliżej punktu zero.
Czyli, pozycja, która znajduje się dalej od równika to - odjemna, a pozycja, która znajduje się bliżej równika to - odjemnik.

Wystarczy przeanalizować poniższą tabelę.

Vancouver (A) - Honolulu (B) ; (Pacyfik)

Jak widać, brak wierzchołka ortodromy klasycznej, znajduje się poza ortodromą.
Kąt początkowy [α] = 237,1°, a kąt końcowy [β] = 217,7°.
Pozycja „Honolulu (B)” jest bliżej punktu zero, a pozycja „Vancouver (A)” jest dalej od punktu zero, dlatego zastosować należy wzór:

Natomiast poniższa tabela pokazuje ortodromę klasyczną na której leży wierzchołek w okolicy φ_W = 43°40,8 N.
W tym wypadku stosujemy znany nam wzór na długość ortodromy:

Gibraltar (A) - Baltimore (B) ; (Atlantyk)

Dodajmy jeszcze jedną ortodromę na Oceanie Indyjskim, celem porównania obliczeń.

P. Elisabeth (A) - Perth (B); (O. Indyjski)

Sumując:
Operując tymi wzorami dużo łatwiej obliczyć ortodromę. Wszak zrobi to za nas komputer. Jednakże jest tutaj niezbędna znajomość nawigacji na poziomie zawodowego nawigatora.
Analiza wszystkich przedstawionych tabel mówi nam, że największą trudność sprawia nam południk zmiany daty, czyli [λ = 180°00,0].

Graficzny sposób na obliczenie długości ortodromy przechodzącej przez równik (sposób awaryjny)

Różę kompasową możemy również użyć w wypadku, kiedy ortodroma przechodzi przez równik. Wówczas uzyskujemy dwie dane: długość ortodromy i miejsce jej przejścia przez równik.

Nasza ortodroma to:

• Rysujemy pomocniczą prostą, równoległą do płaszczyzny równika, od południka Greenwich (0°).
• Na obwodzie równika zaznaczamy obie szerokości ortodromy (48°), jako punkt A oraz (36°), jako punkt B.
• Z punktów A i B rysujemy prostopadłe do przecięcia się z pomocniczą prostą. Uzyskujemy odcinki S_A i S_B.
• Odcinki od południka Greenwich do punktów przecięcia się z prostymi prostopadłymi to nasze rφ. (+rφ) dla punktu A (North od równika), i (−rφ) dla punktu B (South od równika).
• Rysujemy południki pozycji A (125°W) i B (176°E), odpowiednio je zaznaczając λ_A i λ_B.
• Od równika w stronę bieguna odmierzamy odcinki S_A dla A i S_B dla B.
• Uzyskane punkty C i D łączymy prostą CD.
• Z punktu C rysujemy prostopadłą do CD i na niej odkładamy rφ_A uzyskując punkt E.
• Z punktu D rysujemy prostopadłą do CD, ale w przeciwnym kierunku i na niej odkładamy rφ_B uzyskując punkt F.
• Łączymy punkty EF; prosta EF przecina prostą CD w punkcie G.
• Rysujemy południk, od bieguna przez punkt G, aż do równika. Na równiku odczytujemy wartość 162° W, jest to punkt (R) w, którym ortodroma przetnie równik.
• Punkt (R) łączymy z punktami C i D.
• Z punktów C i D rysujemy prostopadłe (ku biegunowi).
• Na tych prostopadłych odmierzamy odpowiednio dla każdej pozycji jej rφ, a więc z punktu C - rφ_A, a z punktu D - rφ_B.
• Końce tych odcinków łączymy z punktem R i uzyskujemy dwa odcinki RX i RY.
• Następnie te odcinki przenosimy do wspólnego punktu (0°) na równiku, a drugi punkt każdego z tych odcinków znajdzie się w innym miejscu na równiku.
• Odczytujemy ich współrzędne: RX' = 58° ; RY' = 41°25.
• Sumujemy RX' + RY' = 58° + 41°25 = 99°25.
• Mnożymy 99°25 ∗ 60' = 5955Mm i mamy długość ortodromy.

---