Nawigacja morska: ortodroma nieklasyczna

Nawigacja morska

Ortodroma NIE-klasyczna

Obliczanie ortodromy klasycznej jest żmudne i czasochłonne w odróżnieniu od ortodromy nie-klasycznej. Różnica polega na tym, że w ortodromie klasycznej najważniejszy jest wierzchołek ortodromy w stosunku do, którego wykonujemy wszystkie obliczenia, natomiast w ortodromie nie-klasycznej takim punktem jest punkt przecięcia się ortodromy z równikiem, bez względu gdzie leżą pozycje (wyjściowa i docelowa).

Proszę zauważyć, że wierzchołek ortodromy klasycznej może się przemieszczać (w zależności od przebiegu, "kształtu", ortodromy) po bardzo dużej powierzchni (po całej prawie półkuli). Natomiast przy ortodromie nie-klasycznej punkt przecięcia się ortodromy z równikiem "przemieszcza się" tylko po równiku, a więc po linii. Mało wzorów i możliwość użycia kalkulatora daje nam możliwość szybkich i nieomylnych obliczeń. Jeżeli kogoś to interesuje, to polecam ten właśnie sposób, opisany poniżej.

Ortodroma przecinająca równik

Co już wiemy o ortodromie? Przy obliczaniu ortodromy musimy mieć punkt odniesienia; jest nim, albo wierzchołek ortodromy, albo punkt przecięcia się ortodromy z równikiem.

Na podstawie rysunku, możemy stwierdzić:


Sposób obliczania:

Pozycja wyjściowa - φA ; λA (przykładowo, na północ od równika)
Pozycja docelowa - φB ; λB (przykładowo na południe od równika)
Przede wszystkim należy określić na jakiej długości (λo) ortodroma przetnie równik (φo=00°00'0), oraz jaki będzie KDd (Ko) w punkcie przecięcia się ortodromy z równikiem.
Wartości te (λo, Ko) obliczamy ze wzorów:

Zanim przejdziemy do następnych wzorów, musimy wyjaśnić składowe wzoru na (λo).
Jak widzimy, lewy człon równania zawiera nie tylko argument (λo), ale i ułamek; połowy sumy algebraicznej, długości obu punktów ortodromy. Argument (λo), nie jest tym argumentem, jest to wynik, jaki otrzymamy po obliczeniu prawej strony równania, który po algebraicznym odjęciu od w/w ułamka da nam właściwe (λo). Właściwie wzór na (λo) powinien wyglądać następująco:

W takim razie po co było wstawiać (λo) od razu, do wzoru. Po prostu "ku pamięci" co obliczamy i skrócenia procedury wzorów. Czym mniej tym lepiej. Nie musimy tutaj dodawać, że obliczanie (φo) jest zbyteczne.

Po obliczeniu najważniejszej części ortodromy, czyli punktu w którym przetnie ona równik, możemy przystąpić do obliczenia całej ortodromy.

1. Najpierw obliczamy całkowitą długość ortodromy. Zysku na ortodromie nie obliczamy, bo wiadomo, że jest on bardzo duży. Ortodroma przechodząc przez równik, "dzieli się" niejako na dwie ortodromy (północną i południową). Ponieważ wszystkie części, które obliczamy dla ortodromy, obliczamy w odniesieniu do punktu (φo i λo), więc liczymy "dwie" ortodromy, od równika dla punktu A i B; wg wzorów:

Długość D1 od punktu przecięcia z równikiem do punktu wyjścia oblicza się:

Natomiast do punktu przyjścia:

D1 = długość części ortodromy od równika do punktu A
D2 = długość części ortodromy od równika do punktu B

Uwaga: Są dwa sposoby obliczania długości ortodromy przecinającej równik:
a)  Wyliczone odległości (D1 oraz D2) dodajemy bez uwzględniania znaków, a więc ich wartości bezwzględne.
W tym wypadku stosujemy do obliczeń tą samą wartość (Ko).
b)  Obliczamy odległości (D1 oraz D2), z tym, że dla każdego odcinka ortodromy przyjmujemy inne (Ko), tzw. kontrkurs. Innymi słowy, bierzemy kursy od równika do danego punktu (wyjścia i przyjścia).

Jeżeli oba punkty ortodromy (wyjścia i przyjścia) znajdują się po tej samej stronie równika, wówczas stosujemy inny wzór:

2. Po obliczeniu (λo i Ko oraz Dcałk.), możemy przystąpić do obliczenia współrzędnych dowolnych punktów podziału ortodromy. Mamy dwa sposoby obliczeń. Wygodniejszy jest sposób obliczania szerokości (φz), w którym ortodroma przecina południki uprzednio określonych długości (λz). Do tego służy wzór:

Drugi sposób to obliczanie długości punktów ortodromy (λz), w których ortodroma przecina równoleżniki uprzednio określonych szerokości (φz). Do tego służy wzór:

3. Ortodroma już podzielona, przystępujemy do obliczania kursów pomiędzy punktami podziału. Znając (Ko i λo) można przystąpić do tych obliczeń wg wzoru:

4. I mamy całą ortodromę przecinającą równik, jak na dłoni.

Matematyczne ujęcie ortodromy przechodzącej przez równik

Przykład:


Pozycja wyjściowa: Vancouver (Kanada)    φA=48°00'0N ; λA=125°00'0W
Pozycja docelowa: Auckland (Nowa Zelandia)    φB=36°00'0S ; λB=176°00'0E


UWAGA: Zawsze pamiętać o znakach, gdyż cały czas mamy tu do czynienia z algebraicznymi obliczeniami!


1. Zaczynamy od obliczenia rφ i rλ.

Znaki przy rφ i rλ mówią nam, że ortodroma będzie miała kierunek SW i takie znaki wstawimy przy określaniu kursów.


2. Obliczamy punkt przecięcia się ortodromy z równikiem.

Zanim przystąpimy do obliczeń, przygotujmy sobie dane:

Podstawiamy i obliczamy: Obliczeń dokonano kalkulatorem Casio fx-77

λo = (+)25°30'0 – (+) 6°44'6 = (+)18°45'4
Jak wiemy ortodroma przechodzi przez południk 180°, więc musimy to uwzględnić.
Nasze właściwe (λo) będzie wynosić: (+)18°45'4 – 180°00'0 = (–)161°14'6 czyli 161°14'6W
Współrzędne punktu przecięcia się ortodromy z równikiem to:

φo = 00°00'0
λo = 161°14'6 W

3. Teraz kolej na obliczenie kursu pod jakim przetnie ortodroma równik.

Najpierw musimy obliczyć pewną wartość, a mianowicie:
A – λo) ; (–)125°00'0 – (–)161°14'6 = (+)36°14'6 , oraz
B – λo) ; (+)176°00'0 – (–)161°14'6 = (+)337°14'6

Podstawmy od razu dane do wzoru:
ctg Ko = tg 48°00'0 cosec 36°14'6 = (1,1106125) x (1,6914297) = 1,878526 = S 28°01'7 W = 208° {[028°], od równika do "A"}
ctg Ko = tg –36°00'0 cosec 337°14'6 = (–0,7265425) x (–2,5851934) = 1,8782529 = S 28°01'9 W = 208°, od równika do "B"

UWAGA: Kurs przecięcia się ortodromy z równikiem obliczamy w systemie "ćwiartkowym", który zamieniamy na "pełny". Zaleca się, aby po obliczeniu kursu przecięcia się ortodromy z równikiem w systemie "pełnym", natychmiast przystąpić do obliczenia [kontrkursu], co jest niezbędne przy prawidłowym obliczeniu długości całkowitej ortodromy!


4. Kolej na obliczenie długości naszej ortodromy.

a) Dodawanie bezwzględnych wartości
sin DA = sin 48°00'0 sec 208° = 0,7431448 x –1,1325701 = –0,8416635 = –57°18'9
sin DB = sin –36°00'0 sec 208° = –0,5877852 x –1,1325701 = +0,6657079 = +41°44'2
Dcałk. = D1 + D2 = (–)[57°18'9] + (+)[41°44'2] = [99°03'6] x 60 = 5943,1Mm

b) Dodawanie wartości obliczonych "kontrkursami"
sin DA = sin 48°00'0 sec 028° = 0,7431448 x 1,1325701 = 0,8416635 = +57°18'9
sin DB = sin –36°00'0 sec 208° = –0,5877852 x –1,1325701 = +0,6657079 = +41°44'2
Dcałk. = D1 + D2 = (+57°18'9) + (+41°44'2) = +99°03'6 x 60 = 5943,1Mm

5. Po obliczeniu λo i Ko przystępujemy do podziału ortodromy na odcinki.

Ortodromę dzielimy takie odcinki, aby nie były dłuższe niż 600 Mm. Optymalny podział ortodromy w naszym wypadku to - co 5° (λ) długości. Ortodromę dzielimy zaczynając od punktu przecięcia się ortodromy z równikiem, na północ i na południe od tego punktu, aż do punktu A i B. Najlepiej zrobić to przy pomocy tabelki i przy okazji można od razu obliczyć kursy miedzy punktami podziału. Jak wiemy; musimy obliczyć szerokości (φ) punktów podziału i kursy między tymi punktami (K). Do tego użyjemy następujące wzory:

6. Przejdźmy do tabelki.

To znaczy, że z (A) do (1) sterujemy KDd=224,5° ; z (1) do (2) sterujemy 224° ; i tak dalej, aż do końca ortodromy (B).

Cała ortodroma obliczona.

Wybierzmy trzy "przypadkowe" pozycje (3),(6) i (9) aby pokazać technikę obliczeń, które wykonaliśmy w powyższej tabeli.

Obliczymy szerokość (φ)
(3)tgφ = sin25° ctg208° = (0,4226182) x (1,8807265) = (0,7948293) = 38,478708=38°28'7
(6)tgφ = sin10° ctg208° = (0,1736481) x (1,8807265) = (0,3265847) = 18,086347=18°05'2
(9)tgφ = sin–10° ctg208° = (–0,1736481) x (1,8807265) = (–0,3265847) = –18,086347 = –18°05'2

Wynik w pozycji (3) i (6) ma znak (+), więc przy φ stawiamy znak N, a wynik w pozycji (9) ma znak (–), więc przy φ stawiamy znak S.

Przejdźmy do obliczenia kursu, jakim trzeba dojść do pozycji;
od(3) do (4)
ctg K = ctg208°cos38°28'7cos25° = (1,8807265)x(0,7828435)x(0,9063077) = (1,3343701) = 36,848523 = 36°50'9 ≈ 37° = S37°W = 217°

od(6) do (7)
ctg K = ctg208°cos18°05'2cos10° = (1,8807265)x(0,950588)x(0,9848077) = 1,760354 = 29,595569 = 29°35'7 ≈ 29,5° = S29,5°W = 209,5°

od (9) do (10)
ctg K = ctg208°cos–18°05'2cos–10° = (1,8807265)x(0,950588)x(0,9848077) = 1,760354 = 29,595569 = 29°35'7 ≈ 29,5° = S29,5°W = 209,5°

Ortodroma bez (z pominięciem) wierzchołka
Czyli obliczenia w odniesieniu do punktu na równiku

Aby obliczyć ortodromę łączącą dwie pozycje A i B, musimy mieć punkt odniesienia. Może nim być wierzchołek ortodromy albo punkt przecięcia się ortodromy z równikiem.
Porównując ilość obliczeń, użyte do tego wzory, możemy śmiało stwierdzić, że o wiele lepszy jest sposób obliczeń "na punkt równikowy", czyli przecięcia się ortodromy z równikiem. Są tutaj zastosowane bardzo proste obliczenia (wzory), które można obliczyć w łatwy sposób kalkulatorem.

Przykład:


Ortodroma łącząca New York z Gibraltarem:
New York     φA = 40°43'0 N ; λA = 074°00'0 W
Gibraltar     φB = 36°06'0 N ; λB = 005°21'0 W


1. Zaczynamy od obliczenia rφ i rλ.

Generalny kierunek naszej ortodromy to SE.   (rφ) = (–) = (S) ; (rλ) = (+) = (E)

2. Obliczamy dane potrzebne do wzoru na λo.

Obliczmy zatem λo
tg(–39°40'5 – λo) = tg34°19'5 sin76°49'0 cosec(–4°37'0) = λo = [–39°40'4 – (–83°05'8)] = (+)43°25'3

Ortodroma przetnie równik na λo = 043°25'3 E

3. Kolej na obliczenie kursu pod jakim przetnie ortodroma równik.

Najpierw obliczamy dane do wzoru:
λA – λo = (–)117°25'3
λB – λo = (–)048°46'3

ctg Ko = tg 40°43'0 cosec (–117°25'3) = (–)45°53'9 = S46°E = 134° [314°]
ctg Ko = tg 36°06'0 cosec (–048°46'3) = (–)45°53'1 = S46°E = 134° [314°]

4. Kolej na odległość między punktami A i B.

Należy pamiętać o kontrkursie, dla obu pozycji "A" i "B". W tym przypadku będzie taki sam, bo leżą po tej samej stronie równika. Równik nie "przecina" ortodromy.
sin D1 = sin 40°43'0 sec (314°) = 69°36'5
sin D2 = sin 36°06'0 sec (314°) = 57°49'5
Jeżeli ortodroma posiada oba punkty (wyjścia i docelowy) po jednej stronie równika, wówczas na obliczenie długości ortodromy stosujemy wzór:

Dcałk. = 180° – (D1 + D2)

czyli      Dcałk. = 180° – (69°36'5 + 57°49'5) = 52°34'0 = 3154 Mm


5. Dzielimy ortodromę na odcinki loksodromiczne.

Obliczamy ich pozycje i kursy miedzy nimi, wg wzorów:

tg φ = sin (λ – λo) ctg Ko
ctg K = ctg K cos φ cos (λ – λo)

Do tego posłuży nam tabelka:

Uwaga:

Teraz już wiadomo jaki system obliczeń ortodromy jest lepszy. W odniesieniu do wierzchołka ortodromy, czy w odniesieniu do punktu przecięcia się ortodromy z równikiem. Na koniec proszę, aby każdy adept nawigacji zapamiętał - w nawigacji stosuje się zasadę: minimum obliczeń przy maksimum dokładności!

Graficzny sposób na obliczenie długości ortodromy przechodzącej przez równik (sposób awaryjny)

Różę kompasową możemy również użyć w wypadku, kiedy ortodroma przechodzi przez równik. Wówczas uzyskujemy dwie dane: długość ortodromy i miejsce jej przejścia przez równik.

Nasza ortodroma to:
Vancouver: φA = 48°00'0 N ; λA = 125°00'0 W
Auckland: φB = 36°00'0 S ; λB = 176°00'0 E

Poprzedni rozdział:
Obliczanie odległości na mapie gnomonicznej
Następny rozdział:
Mapa morska - odwzorowanie Merkatora